三、计算题1. 解方程cosz=3.
解:由cosz=3,得
或e
2iz-6e
iz+1=0
解得
或
即
2. 设C为正向圆周|z|=2,f(z)为解析函数,求
.
分别以z=0和z=l为中心,
为半径,作正向圆周C
1和C
2则
3. 证明u(x,y)=xy是调和函数.求以u为实部的解析函数f(z).
解:因为
所以
,即u(x,y)为调和函数.
由C-R条件,
,
因此
,其中φ(y)是与x无关的可微函数.
再由C-R条件,
,
所以
,其中C为任意实数.
所求解析函数为
4. 求幂级数
的收敛圆域及其和函数.
解:由
,知级数在|z|<1内收敛.
在|z|<1内,取0到任意点z的光滑曲线C,积分
5. 将
在圆环域1<|2|<+∞内展开为洛朗级数.
解:因为
当1<|2|<+∞时,
所以当1<|z|<+∞时
6. 设C为正向圆周|z|=2,求
.
解:函数
在|z|<2内有六个一阶极点z=z
k(k=l,2,..,6)
由求留数的规则
由留数定理