一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。) 二、填空题1. 设
,则方程f(x)=0的全部根为______。
2. 设
,则A
-1=______。
3. 设A为3阶矩阵,
,则行列式
=______。
4.
=______。
5. 设向量β=(1,0,0)
T可由向量组α
1=(1,1,a)
T,α
2=(1,a,1)
T,α
3=(a,1,1)
T线性表出,且表示法惟一,则a的取值应满足______。
6. 设向量组α
1=(1,2,-1)
T,α
2=(0,-4,5)
T,α
3=(2,0,t)
T的秩为2,则t=______。
7. 设
,则3元齐次线性方程组Ax=0的通解为______。
8. 设
为n阶矩阵A的一个特征值,则矩阵2E-3A
2必有一个特征值为______。
9. 设2阶实对称矩阵A的特征值为-2,2,则A
2=______。
4E或
10. 设二次型f(x
1,x
2)=
正定,则实数t的取值范围是______。
三、计算题1. 计算4阶行列式
。
解:将行列式按第1行展开:
2. 设矩阵
,求A
-1。
3. 设3阶矩阵A与B满足AB+E=A
2+B,其中
,求矩阵B。
解:
AB+E=A
2+B可化为
(A-E)B=(A-E)(A+E) (1)
由于
,故A-E可逆
用(A-E)
-1左乘(1)式两边,得到
4. 求向量组α
1=(2,1,3,-1)
T,α
2=(3,-1,2,0)
T,α
3=(1,3,4,-2)
T,α
4=(4,-3,1,1)
T的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量由该极大线性无关组线性表出。
解:由
可知向量组的秩为2;α
1,α
2为一个极大线性无关组,并且有α
3=2α
1-α
2,α
4=-α
1+2α
2。
(答案不惟一)
5. 已知线性方程组
(1)讨论常数a
1,a
2,a
3,满足什么条件时,方程组有解。
(2)当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)。
解:
(1)由于方程组的增广矩阵
可知,当a
1+a
2+a
3=0时,r(A)=r(
),方程组有解。
(2)当a
1+a
2+a
3=0时,r(A)=r(
)=2<3,方程组有无穷多解,此时
得到
从而通解为x=(a
1+a
2+a
3,0)
T+k(1,1,1)
T(k为任意常数)。
6. 设矩阵
,判定A是否可对角化并说明理由。
解:由
得到A的特征值为λ
1=λ
2=-1,λ
3=4。
对于λ
1=λ
2=-1,求解齐次线性方程组(-E-A)x=0,由
得基础解系α
1=(1,1,1)
T,(或r(-E-4)=2≠1)。
可知A的2重特征值λ
1=λ
2=-1只有1个线性无关的特征向量,因此A不可对角化。
7. 求正交变换x=Qy,将二次型
化为标准形。
解:二次型的矩阵
,由
得A的特征值为λ
1=3,λ
2=λ
3=0
对于λ
1=3,求解齐次线性方程组(3E-A)x=0,由
得到基础解系α=(1,1,1)
T,单位化,得到
。
对于λ
2=λ
3=0,求解齐次线性方程组(-A)x=0,由
得到基础解系α
2=(-1,1,0)
T,α
3=(-1,0,1)
T,
将它们正交化,得β
2=α
2=(-1,1,0)
T,β
3=
,
再单位化,得
令Q=(γ
1,γ
2,γ
3),则Q为正交矩阵,
从而经正交变换x=Qy,将原二次型化为标准形
。