第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.)1. 设向量a={3,2,-1}与z轴正向的夹角为γ,则γ满足______
A.
B.
C.γ=π
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为向量的夹角.
[解析]
故选A.
4. 设L是圆周x
2+y
2=4,则对弧长的曲线积
______
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分.
[解析] 圆x
2+y
2=4的参数方程为
7. 设函数z=lnxy,则全微分dz=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为全微分.
[解析] 函数=lnxy,则
,
8. 设L是A(1,0),B(0,1)之间的直线段,则I=∫
L(x+y)ds=______
A.0
B.1
C.
D.2
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为第一型曲线积分.
[解析] AB间的线段表示为x+y=1.
9. 微分方程y
"=x的通解y=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为y
"=f(x)型微分方程的通解.
[解析] y
"=x,两边同时积分得
C
1,两边再同时积分得
C
2为任意常数).
10. 无穷级数
的和为______
A.π
B.
C.
D.
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点为利用幂级数的展开式求无穷级数的和.
[解析] 由无穷级数的和形式,可联想到
即所要求的无穷级数的和为
第Ⅱ部分 非选择题
二、计算题(每小题6分,共60分)1. 设函数
求
解:
[考点] 本题主要考查的知识点为函数的高阶偏导数.
2. 求函数f(x,y,z)=x
2+y
2+z
2-xyz在点P(1,-1,2)处沿方向L={1,0,1}的方向导数.
[考点] 本题主要考查的知识点为求函数的方向导数.
3. 设函数z=ln(x
2+y
2)-sinxy,求全微分dz.
4. 求椭圆锥面z
2=x
2+y
2在点(1,1,1)处的法线方程.
解:令F(x,y,z)=x
2+y
2-z
2,则F
x=2x,F
y=2y,F
z=-2z,于是
故所求法线方程为
即x-1=y-1=1-z.
[考点] 本题主要考查的知识点为曲面的法线方程.
5. 已知积分区域D是由x=-1,y=1,y-x=1所围成的闭区域,求二重积分
解:积分区域D,如下图所示,则
[考点] 本题主要考查的知识点为二重积分的计算.
6. 计算三重积分
,其中积分区域Ω由
,y=0,z=0及
所围成的区域.
解:积分区域Ω如下图所示,故
[考点] 本题主要考查的知识点为三重积分的计算.
7. 计算对弧长的曲线积分∫
Lxyds,其中L是(0,0)到(1,3)之间的直线段.
解:直线段L的方程为y=3x,其中0≤x≤1,于是
[考点] 本题主要考查的知识点为弧长的曲线积分.
8. 求对坐标的曲线
,其中L是x=0,y=0,x+y=1所围成的正向边界曲线.
解:令P(x,y)=(x+y)
2,Q(x,y)=-(x
2+y
2),则
记L所围成的积分区域为D如上图所示,故有
[考点] 本题主要考查的知识点为用格林公式计算曲线积分.
9. 判定级数
的敛散性.
解:令
,级数
为等比级数,公比
故级数
收敛.级数
因级数
发散,故级数
发散,故原级数发散.
[考点] 本题主要考查的知识点为级数的敛散性.
10. 求幂级数
的收敛区间.
解:因为
所以收敛半径R=27.
当x=±27时,
,则
故
,即x=±27时级数发散
故原级数收敛区间为(-27,27).
[考点] 本题主要考查的知识点为幂级数的收敛区间.
三、综合题(每小题5分,共10分)1. 在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,2x+y-6=0的距离平方和最小.
设所求点为(x,y),该点到三直线的距离平方和为
得驻点
由于
则
因此
是z的极小值点.
由实际意义知,在点
处z取得最小值.
故在xy平面上,点
到三直线的距离平方和最小.
[考点] 本题主要考查的知识点为最值问题.
2. 将函数f(x)=ln(1+x)展开成(x-1)的幂级数.
对原函数求导
对上式等式两边积分
[考点] 本题主要考查的知识点为幂级数的展开式.