第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.) 第Ⅱ部分 非选择题
二、填空题1. 设向量α={2,-2,1},则向量α的模等于______.
3
[解析]
2. 极限
3. 设积分区域Ω:x
2+y
2+z
2≤1,则三重积分
=______.
4π
[解析]
4. 微分方程x
2y
"+(1-x
2)y
'-y=1的特解y
*=______.
5. 设函数f(x)是周期为2π的周期函数,f(x)的傅里叶级数为
,则f(x)的傅里叶系数a
1=______.
三、计算题(每小题5分,共60分)1. 求平面π:x-2y-z+4=0和直线
的夹角φ.
解:n={1,-2,-1},s={1,1,2},
2. 设函数z=e
2x-ycos(x+y),求
.
解:令u=2x-y,v=x+y,
则z=e
u·cosv,
3. 设z=x
2y+xy
2,求全微分dz.
解:
∴dz=(2xy+y
2)dx+(x
2+2xy)dy.
4. 设方程x
z+9=z
y确定函数z=z(x,y),求
.
解:令F(x,y,z)=x
2-z
y+9,
F
y=-z
y·lnz,F
z=x
z·lnx-yz
y-1,
6. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤4.
解:在极坐标系中,区域D可表示为:0≤ρ≤2,0≤θ≤2π,
7. 计算对弧长的曲线积分
,其中C:y=x
2(-1≤x≤1)一段弧.
解:
8. 计算对坐标的曲线积分∫
C(x+y)dx+(x-y)dy,其中C是由点(1,0)到点(2,0)的直线段.
解:C的方程为y=0,x从1变到2.
9. 求微分方程
的通解.
解:微分方程可化为
所以通解为y=e
-∫(-1)dx[∫xe∫
(-1)dxdx+C]
=e
x[∫xe
-xdx+C]
=e
x[-xe
-x-e
-x+C]
=Ce
x-x-1.
10. 求微分方程y
"-5y
'+6y=0的通解.
解:特征方程为r2-5r+6=0,特征根r1=2,r2=3,方程通解为y=C1e2x+C2e3x.
11. 判断无穷级数
的敛散性.
解:
∴由比值审敛法知,该级数发散.
12. 求幂级数
的收敛半径和收敛区间.
解:
∴收敛半径R=2,收敛区间为(-2,2).