第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.)1. 向量a={2,1,-1}与b={1,2,1}的夹角为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为两向量的夹角.
[解析] 设a、b的夹角为α,则cosα=
6. 已知点
和点
,则向量
的模
______
A.3
B.4
C.
D.12
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点为向量的模.
[解析]
7. 已知函数
,则
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为多元函数的复合函数.
[解析] 因
,取
v=1,则
10. 已知无穷级数
,则u
7=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知点为数项级数的概念.
[解析] 由题意知,
,故
第Ⅱ部分 非选择题
二、计算题(每小题6分,共60分)1. 求过点A(2,10,4),并且与直线x=-1+2t,y=1-3t,z=4-t平行的直线方程.
解:因为x
'=2,y
'=-3,z
'=-1,方向向量T={2,-3,-1},
所以,所求直线方程为
[考点] 本题主要考查的知识点为直线的对称式方程.
2. 求曲线x=4cost,y=4sint,z=3t在对应于
的点处的法平面方程.
解:对应于
的点为
,又x
'=-4sint,y
'=4cost,z
'=3,对应于
的点处的平面法向量为T={-2,
所求法平面方程为
3. 已知方程x
2+y
2-z
2+2z=5确定函数z=z(x,y),求
.
解:设F(x,y,z)=x
2+y
2+2z-z
2-5,则
F
x=2x,F
y=2y,F
z=2-2z,
[考点] 本题主要考查的知识点为隐函数的偏导数.
4. 计算二重积分
,其中D是由y
2=x和y=x
2所围成的区域.
解:
[考点] 本题主要考查的知识点为直角坐标系下二重积分的计算.
5. 计算对弧长的曲线积分
,其中C是从点A(3,0)到点B(3,1)的直线段.
解:C的方程为x=3(0≤y≤1),
[考点] 本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分.
6. 计算对坐标的曲线积分∫
C(x
3-2xy)dx,其中C为抛物线y=x
2上从点A(-1,1)到点B(1,1)的一段弧.
解:C的方程y=x
2,
x从-1变到1,所以
[考点] 本题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分.
7. 求微分方程
的通解.
[考点] 本题主要考查的知识点为一阶线性微分方程的解法.
8. 求微分方程y
"-y
'-6y=0的通解.
解:特征方程为r2-r-6=0,得特征根r1=-2,r2=3,
所以通解为y=C1e-2x+C2e3x.
[考点] 本题主要考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的通解.
9. 判断无穷级数
的敛散性.
[考点] 本题主要考查的知识点为数项级数的比较判别法.
10. 已知f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-π,π)上的表达式为f(x)=x+1,求f(x)傅里叶级数
中系数b
4.
解:
[考点] 本题主要考查的知识点为函数的傅里叶级数的系数.