第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.)2. 设函数f(x,y)在(x
0,y
0)处偏导数存在,则
______
A.f
x(x
0,y
0)
B.
C.f
y(x
0,y
0)
D.
A B C D
4. 以
为特解的微分方程是______
- A.3y"-y'=0
- B.3y"+y'=0
- C.3y"-2y'-y=0
- D.9y"+6y'+y=0
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为微分方程的特解.
[解析]
,故有3y
"-y
'=0,因此
是3y
"-y
'=0的特解.
5. 下列无穷级数中收敛的无穷级数是______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为无穷级数的敛散性.
[解析] 选项A
而级数
发散,故
也发散;选项
,当n为偶数时
,当n为奇数时
1,故级数
发散;选项D
,令u
n=
则
故
发散;选项
令
则
故
收敛.
8. 设积分区域D由x
2+y
2=1(y>0),y=0所围成,将二重积分
化为直角坐标下的二重积分为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为直角坐标下的二重积分.
[解析] 积分区域D,如下图所示,则
9. 微分方程ydx-xdy=0的通解为______
A.
(C为任意常数)
B.y=Cx
2(C为任意常数)
C.y=Cx
3(C为任意常数)
D.y=Cx(C为任意常数)
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点为可分离变量的微分方程.
[解析] ydx-xdy=0,即
两边同时积分得lny=lnx+lnC
即y=Cx(C为任意常数).
第Ⅱ部分 非选择题
二、计算题(每小题6分,共60分)1. 求曲面z=xy上点(1,2,2)处的法线方程.
解:令F(x,y,z)=z-xy,则
则法线方程为
[考点] 本题主要考查的知识点为空间曲面的法线方程.
2. 设方程sin(x
2+y
2+z
2)-xz=1确定函数z=z(x,y),求
解:令F(x,y,z)=sin(x
z+y
2+z
2)-xz-1,则
F
x=2xcos(x
2+y
2+z
2)-z,
F
y=2ycos(x
2+y
2+z
2),
F
z=2zcos(x
2+y
2+z
2)-x,
[考点] 本题主要考查的知识点为隐函数的导数.
3. 求函数f(x,y)=x
2-xy+y
2的梯度gardf(1,-1).
解:f
x=2x-y,f
y=-x+2y,
则
故gradf(1,1)={3,-3}.
[考点] 本题主要考查的知识点为函数的梯度.
4. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤1.
解:
[考点] 本题主要考查的知识点为用极坐标求二重积分.
5. 计算对弧长的曲线积
,其中C是x=0,y=0,x+y=1所围成的.
解:积分曲线C如下图所示.
对于线段OA:y=0,dy=0,ds=dx,
对于线段OB:x=0,dx=0,ds=dy,
对于线段AB:y=1-x,
故
[考点] 本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分.
[解析] 此类分段积分曲线,要先写出各段上曲线的方程,然后分别代入公式进行计算.
6. 计算对坐标的曲线积分∫
Cxydx+(x+y)dy,其中C为曲线y=x
2从点(0,0)到(1,1)的一段弧.
解:曲线C如下图所示.
y=x
2,则
dy=2xdx,故有
[考点] 本题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分.
7. 求二阶微分方程y
"+y
'-e
x=0的通解.
解:此微分方程属于y
"=f(x,y
')型,令p=y
'代入原方程得p
'+p-e
x=0,即p
'+p=e
x,
该方程对应的齐次微分方程为p'+p=0,
分离变量并积分
p=Ce
-x,
利用常数变易法,令p=u(x)e
-x,
则p
'=u
'(x)e
-x-u(x)e
-x,
将p
'及p代入微分方程p
'+p=e
x得,
u
'(x)e
-x=e
x,即u
'(x)=e
2x,
积分得
则
即
则原微分方程的通解
[考点] 本题主要考查的知识点为可降价微分方程的通解.
8. 求微分方程y
"-4y
'+5y=0的通解.
解:原微分方程的特征方程为
r2-4r+5=0,
解得特征根为r1=2+i,r2=2-i,
由于r1与r2是一对共轭复根,因此所求的通解为
y=e2x(C1cosx+C2sinx)
[考点] 本题主要考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的通解.
9. 判断级数
的敛散性.
解:设级数部分和数列为{S
n},则
即该级数的部分和S
n有上界,故原级数收敛.
[考点] 本题主要考查的知识点为无穷级数收敛的充分必要条件.
10. 求幂函数
的收敛半径和收敛区间.
解:设
,则
则对任意的x都有
故级数的收敛半径R=+∞,收敛域为(-∞,+∞).
[考点] 本题主要考查的知识点为幂级数的收敛半径和收敛区间.
[解析] 该级数为缺奇数项的幂级数,故求收敛半径时不能用
三、综合题(每小题5分,共10分)1. 求函数f(x,y)=2x
2-2xy+y
2-2x-2y+4的极值.
由于f
xx=4,f
xy=-2,f
yy=2,于是
A=4>0,
则点(2,3)是极小值点,故函数的极小值为f(2,3)=-1.
[考点] 本题主要考查的知识点为函数的极值.
2. 将函数f(x)=arctanx展开为x的幂级数.
[考点] 本题主要考查的知识点为幂级数的展开式(先求导,再积分).
[解析] 掌握常用函数幂级数展开式的求法:①利用定义法,②求导或积分法.