第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.)3. 设∑为半球面x
2+y
2+z
2=1,z<0,则对面积的曲面积分
______
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点为面积的曲面积分.
[解析]
则dS=
曲面∑在Oxy面上是投影为x
2+y
2≤1,所以
5. 幂级数
的收敛半径R=______
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点为幂级数的收敛半径.
[解析] 令
,则
,因此
,故幂级数的收敛半径为1.
8. 设积分区域D:x
2+y
2≤2x,则二重积分
在极坐标下的二次积分为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为极坐标下二重积分.
[解析] 积分区域D:x
2+y
2≤2x即(x-1)
2+y
2≤1,如下图所示,故二重积分
9. 微分方程
的通解为______
- A.y2=2lnx+Cx2
- B.y2=2x2lnx+Cx2
- C.y2=2x2lnx
- D.y2=2xlnx+Cx
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点为齐次方程.
[解析] 微分方程
,将方程右边分子分母同时除以x
2得
令
,则
,代入上式得
分离变量得
两边同时积分得
将
代入得y
2=2x
2lnx+Cx
2,
即所要求的通解.
10. 设
则f(x)的傅里叶级数的和函数在
处的值为______
A.
B.1
C.2
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为傅里叶级数的收敛性.
[解析] 将f(x)作以2π为周期的延拓且f(x)按段光滑.而
是f(x)的间断点,故f(x)收敛于
即f(x)的傅里叶级数的和函数在
处的值为
第Ⅱ部分 非选择题
二、计算题(每小题6分,共60分)1. 求与平面3x+2y-z+4=0和平面3x+2y-z=0的距离都相等的动点的轨迹方程.
解:设动点P为(x,y,z),则点P到两平面的距离分别为
则有d
1=d
2,即
两边平方并整理得3x+2y-z+2=0.
[考点] 本题主要考查的知识点为点的轨迹.
[解析] 我们可以发现题目中所给的两平面是互相平行的,故可以直接选两平面之间的中点位置得3x+2y-z+2=0.但是对于两个相交平面,则常用上述方法求点的轨迹.
2. 求空间曲线L:x=t
2,y=3t,z=2t
3在点(1,-3,-2)处的法平面方程.
解:由于点(1,-3,-9)在空间曲线上,将点代入曲线方程得t=-1,所以
则所求法平面的法向量为{-2,3,6},故所求法平面为-2(x-1)+3(y+3)+6(z+2)=0.
[考点] 本题主要考查的知识点为空间曲线的法平面方程.
3. 求函数f(x,y)=e
xy在点(1,2)处沿从点(1,2)到点
的方向的方向导数.
解:方向l={2-1,2+
[考点] 本题主要考查的知识点为函数的方向导数.
4. 求曲面z=3-x
2-2y
2上平行于平面2x+4y+z+8=0的切平面方程.
解:由z=3-x
2-2y
2,于是z
x=-2x,z
y=-4y,
由于所求切平面平行于平面2x+4y+z+8=0,
因此
解上式得x=1,y=1,z=0,则
故所求切平面方程为z=-2(x-1)-4(y-1).
[考点] 本题主要考查的知识点为利用平面平行求曲面的切平面方程.
5. 计算二重积分
,其中积分区域D是x
2+y
2≤R
2.
解:
[考点] 本题主要考查的知识点为用极坐标计算二重积分.
6. 计算三重积分
,其中Ω是椭圆锥面z
2=x
2+y
2及平面z=1所围成的闭区域.
解:积分区域Ω如下图所示,Ω在Oxy面上的投影域为D
xy:x
2+y
2≤1(z=0),于是
[考点] 本题主要考查的知识点为计算三重积分.
7. 计算对弧长的曲线积分∫
L(x
2+y
2)ds,其中L是以原点为中心,半径为1的上半圆.
解:曲线L的参数方程x=cosθ,y=sinθ,
则
[考点] 本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分.
8. 计算对坐标的曲线积分
,其中L为y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的闭曲线,依逆时针方向.
解:积分曲线L如下图所示.
对于弧AO,有y=sinx,dy=cosxdx,
对于线段AO,有y=0,dy=0,
[考点] 本题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分.
9. 求微分方程
的通解.
解:分离变量得
两边积分得
即为原微分方程的通解.
[考点] 本题主要考查的知识点为分离变量微分方程求通解.
10. 求幂级数
的收敛区间.
解:由于
所以收敛半径R=1.当x=±1时,
发散,故收敛区间为(-1,1).
[考点] 本题主要考查的知识点为幂级数的收敛区间.