第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.)2. 已知向量α、β的模分别为|α|=3,
,α·β=3,且α与β的夹角为θ,则θ=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点为向量的数量积.
[解析] 由α·β=|α|·|β|cosθ=3×
于是
,从而
5. 设函数f(x,y)=h(x)g(y)在点(x
0,y
0)的某邻域内有定义,且存在一阶偏导数,则f
y(x
0,y
0)=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
6. 若直线
与平面4x-y+3z=4垂直,则m=______
A.-6
B.6
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为直线与平面的夹角(垂直).
[解析] 直线的方向向量和平面的法向量分别为v={-8,2,m}和n={4,-1,3}.若直线与平面垂直,则v∥n,即
,故m=-6.
10. 已知函数f(x,y)在(0,1)处的偏导数存在,则
______
A.f
x(0,1)
B.f
x(0,2)
C.
D.2f
x(0,1)
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为偏导数.
[解析]
第Ⅱ部分 非选择题
二、计算题(每小题6分,共60分)1. 设平面π经过点P(5,3,-2),且平行于平面π
1:x+4y-3z-11=0,求平面π的方程.
解:平面π1的法向量为{1,4,-3},所求平面π平行于平面π1,于是其点法式方程为
(x-5)+4(y-3)-3(z+2)=0,
即x+4y-3z-23=0.
[考点] 本题主要考查的知识点为平面方程的点法式方程及两平面方程间的关系.
已知直线和直线2. 求出直线L
1的对称式方程;
解:设直线L
1的方向向量为v
1={l,m,n},x+3y+2z+5=0表示的平面的法向量为n
1={1,3,2},2x-y-10z+3=0表示的平面的法向量为n
2={2,-1,-10},易知l
1的方向向量与n
1,n
2都垂直,故有
若取n=1,则有v
1={4,-2,1},
令z=1,则方程组变为
解之得x=2,y=-3.
所以点(2,-3,1)在直线上,
故直线L
1的对称式方程为
[考点] 本题主要考查的知识点为直线方程的形式和两直线的夹角.
3. 求直线L
1和直线L
2的夹角.
解:直线L2的法向量为
v2={4,-2,1},
显然v1∥v2,从而直线L1和直线L2互相平行,
即夹角θ=0.
[考点] 本题主要考查的知识点为直线方程的形式和两直线的夹角.
4. 已知平行四边形的3个顶点A(3,-4,7)、C(1,2,-3)和D(9,-5,6),求与顶点D相对的第4个顶点B.
解:取O点为AC的中点,则O点的坐标为
即O(2,-1,2).
则O点也是BD的中点,设B(x,y,z),有
解之得x=-5,y=3,z=-2.
故所求B点坐标为(-5,3,-2).
[考点] 本题主要考查的知识点为空间直角坐标系点的坐标.
5. 设α、β都是非零向量,且满足关系式|a-β|=|α+β|,证明α·β=0.
解:由于|α-β|=|α+β|,故|α-β|2=|α+β|2.
即(α-β)(α-β)=(α+β)(α+β).
α·α-α·β-β·α+β·β=α·α+α·β+β·α+β·β.
即α·α+β·β-2(α·β)=α·α+β·β+2(α·β).
又因α,β均为非零向量,要使上式成立,必有α·β=0.
[考点] 本题主要考查的知识点为向量的数量积.
6. 设曲线方程为
它在三个坐标面上的投影曲线.
解:将原方程化为
消去z,联立z=0,得曲线在Oxy平面上的投影曲线
消去y,联立y=0,得曲线在Oxz平面上的投影
消去x,联立x=0,得曲线在Oyz平面上的投影
[考点] 本题主要考查的知识点为空间曲线在坐标面上的投影,
7. 设z=f(x+y,e
xy),f是可微函数,求
解:设z=f(u,v).u=x+y,v=e
xy,
则
[考点] 本题主要考查的知识点为复合函数的偏导数.
8. 在所有周长等于6的直角三角形中,求出斜边最小的三角形.
解:设直角三角形的两直角边为x,y,斜边为z,则有
构造拉格朗日函数
当λ=-1时,方程组的前两个式子都不成立,故λ≠-1.
解得
由于实际情况必存在斜边最小值,故当直角三角形的两直角边长均为
时,斜边最小.
[考点] 本题主要考查的知识点为最值的应用.
9. 求函数u=e
x+2y+z2在点(1,2,1)处的梯度.
解:
gardu(1,2,1)={e
6,2e
6,2
6e6}.
[考点] 本题主要考查的知识点为梯度.
10. 求函数u(x,y,z)=x
2+2xy+z
2在点P(1,2,0)处沿方向l={2,-1,2}的方向导数.
11. 求空间曲线L:x=3lnθ,y=2sinθ,z=θ,(-∞<θ<+∞)在点P(3lnπ,0,π)处的法平面方程及切线.
解:
z
'(θ)=1,于是点P(3lnπ,0,π)处的法平面方程为
x
'(π)(x-3lnπ)+y
'(π)y+z
'(π)(z-π)=0,
即
点P(3lnπ,0,π)处的切线方程为
[考点] 本题主要考查的知识点为空间曲线的切线与法平面方程.