第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.)4. 设f(x,y)是连续函数,则累次积分
______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为交换二次积分的次序.
[解析] 由外层积分可知0≤y≤1,由内层积分可知
,即积分区域在直线y-1=x与圆x
2+y
2=1(x>0,y>0)之间,积分区域如下图所示.
变换积分顺序
7. L是抛物线y=x
2-1从A(-1,0)到B(1,0)的一段,则曲线积分∫
Lxdx+(x+y)dy=______
A.
B.
C.-1
D.1
A B C D
B
[考点] 题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分.
[解析] 由L:y=x
2-1,-1≤x≤1,得dy=2xdx,则
8. 设Ω是平面x+y+z=1与三个坐标面围成的四面体,则
______
A.
B.
C.
D.1
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为三重积分的计算.
[解析] 区域Ω(如下图所示)为
10. 设L是圆x
2+y
2=1取逆时针方向,则
(x
2+y
2)dx-(x
2+y
2)dy=______
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为格林公式.
[解析] 令P(x,y)=(x+y)
2,
Q(x,y)=-(x
2+y
2),则
将L所围成的闭区域记为D,根据格林公式有
第Ⅱ部分 非选择题
二、计算题(每小题6分,共60分)1. 计算
解:
[考点] 本题主要考查的知识点为直角坐标下二重积分的计算.
2. 计算
,其中D={(x,y)|x
2+y
2≤x+y}.
解:利用极坐标系,区域D可写为
[考点] 本题主要考查的知识点为极坐标下二重积分的计算.
3. 计算
,其中Ω是由锥面
与平面z=1所围成的闭区域.
解:区域Ω在Oxy平面上的投影区域D
xy(如下图所示):x
2+y
2≤1,则
[考点] 本题主要考查的知识点为柱面坐标下三重积分的计算.
4. 求由x
2-2x+y
2=0,
,与z=0所围成的立体的体积.
解:积分区域:D:(x-1)
2+y
2≤1,
则
[考点] 本题主要考查的知识点为三重积分的应用.
5. 计算三重积分
,其中Ω是由-2≤x≤2,-3≤y≤6,0≤z≤1所围成.
解:
[考点] 本题主要考查的知识点为直角坐标下三重积分的计算.
6. 求由直线x+y=2,x=2,y=2所围成的面积.
解:积分区域D:x+y≥2,x=2,y=2,如下图所示.
[考点] 本题主要考查的知识点为二重积分的应用.
7. 计算∫
L(-y)ds的值,L是抛物线x=-y
2上点
与O(0,0)之间的一段弧.
解:弧微分公式:ds=
因为x=-y
2,所以ds=
故有
[考点] 本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分.
8. 设
,求原函数u(x,y).
[考点] 本题主要考查的知识点为二元函数的全微分求积.
9. 计算曲面积分
,其中∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.
解:积分区域∑如下图所示,∑:z=1-x-y,
则曲面的面积微元
[考点] 本题主要考查的知识点为对面积的曲面积分.
10. 应用格林公式计算曲线积分
,C由x=0,y=0,y-x=1围成.
解:闭区域D:x=0,y=0,y-x=1,如下图所示.
故