第Ⅰ部分 选择题
一、单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.)5. 下列命题中正确的是______
A.若
收敛,则
必收敛
B.若
与
都发散,则
必发散
C.若
,则
必发散
D.若
收敛,则必有
A B C D
C
[考点] 本题主要考查的知识点为数项级数的审敛法.
[解析] 可用排除法.A选项对于交错级数不成立;对于B选项,若
故B选项错误;对于D选项,当
收敛时,
有可能为1,故D选项错误;则选C.
6. 幂级数x+2x
2+3x
3+…+nx
n+…的收敛区域为______
- A.[-1,1]
- B.(-1,1)
- C.(-1,1]
- D.[-1,1)
A B C D
B
[考点] 本题主要考查的知识点为幂级数的收敛区间.
[解析] 收敛半径
1,又因为当x=1时,幂级数为1+2+3+…+n+…,此时幂级数发散.而当x=-1时,幂级数华为-1+2-3+…+(-1)
nn+…,此时幂级数发散,故收敛区域为(-1,1).
7. 设无穷级数
收敛,则在下列数值中p的取值为______
A.
B.
C.1
D.2
A B C D
D
[考点] 本题主要考查的知识点为几何级数的敛散性.
[解析]
收敛,故
因此|p|>1,故本题选D.
9. 幂级数e
1+x在x=-1处的展开式为______
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[考点] 本题主要考查的知识点为利用e
x的幂级数展开式导出所求函数的幂级数展开式.
[解析] e
x在x=0处的幂级数展开式为
故e
1+x在x=-1处的幂级数展开式为e
1+x=1+
三、综合题(每小题5分,共10分)1. 将f(x)=e
x2在x=0处展开为幂级数,并求级数
的值.
2. 将函数f(x)=2x(-π<x<π)展开成傅里叶级数.
f(x)函数及其周期延拓图像,如下图所示.
f(x)在(-π,π)内按段光滑,由收敛定理知其可展开成为傅里叶级数,又因为
所以f(x)在区间(-π,π),内的傅里叶级数展开式为
[考点] 本题主要考查的知识点为傅里叶级数.