一、单项选择题2. 将3阶矩阵A的第3行乘以
得到单位矩阵E,则|A|=______。
A.-2
B.
C.
D.2
A B C D
A
[解析] 逆操作,将单位矩阵的第3行乘以-2得到
。
3. 设A为3阶矩阵,且|A|=a≠0,将A按列分块为A=(α
1,α
2,α
3),若矩阵B=(α
1+α
2,2α
2,α
3),则|B|=______。
A B C D
C
[解析] |B|=|α1+α2,2α2,α3|=2|α1+α2,α2,α3|=2|α1,α2,α3|=2|A|=2a。
4. 设向量组α
1,α
2,…,α
s(s≥2)线性相关,则α
1,α
2,…,α
s中______。
- A.必有一个零向量
- B.必有两个向量对应元素成比例
- C.存在一个向量可由其余向量线性表出
- D.每个向量均可由其余向量线性表出
A B C D
C
[解析] 线性相关的定义向量组α1,α2,…,αs(s≥2)称为线性相关,如果α1,α2,…,αs中,至少有一个向量可由向量组中的其余向量线性表出。其余选项的反例,α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,0,1)T,α4=(0,1,1)T。
二、填空题1. 行列式
=______。
0
[解析]
2. 若行列式
=-2,则
=______。
-1
[解析]
3. 设矩阵A=
,B=
,则AB
T=______。
[解析]
4. 设矩阵A=
,则(A-E)
-1=______。
[解析]
5. 设矩阵A=
,则A
*=______。
[解析]
6. 设向量组α
1=(3,1,2)
T,α
2=(2,1,0)
T,α
3=(1,0,a)
T线性无关,则数a的取值应满足______。
a≠2
[解析] α
1,α
2,α
3线性无关即|α
1,α
2,α
3|=
=-2+a≠0,解得a≠2。
7. 设3阶矩阵A的所有元素均为1,则3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为______。
8. 设A为3阶矩阵,α
i为3维非零列向量,且满足Aα
i=iα
i(i=1,2,3),则r(A)=______。
3
[解析] 1,2,3为3阶矩阵A的特征值,0不是A的特征值,所以r(A)=3。
9. 设λ
0=-2是n阶矩阵A的一个特征值,则A
2+E的一个特征值是______。
10. 若实对称矩阵A与矩阵B=
合同,则二次型x
TAx的规范形为______。
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 计算行列式
。
解:
2. 设矩阵A,B,C满足关系式AC=CB,其中
,求矩阵A与A
3。
解:因为|C|=-1≠0,所以可逆C,
求得
,
A
3=CB
3C
-1=CBC
-1=A。
3. 设A为3阶矩阵,将A第1列与第2列互换得到矩阵B,再将B的第2列加到第3列得到单位矩阵E,求矩阵A。
解:将过程逆操作得
4. 求向量组α
1=(1,1,2,4)
T,α
2=(0,1,1,2)
T,α
3=(2,1,3,6)
T,α
4=(1,2,3,6)
T的一个极大线性无关组,并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出。
解:
所以α
1,α
2是向量组的一个极大线性无关组,
且α
3=2α
1-α
2,α
4=α
1+α
2。
5. 求线性方程组
的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)。
解:对增广矩阵施以初等行变换
得到
所以通解为
(c
1,c
2为任意常数)。
6. 求矩阵
的全部特征值和特征向量。
解:
所以A的特征值λ
1=λ
2=λ
3=1;
对于特征值λ
1=λ
2=λ
3=1,解齐次线性方程组(E-A)x=0,
求得基础解系α
1=(0,1,0)
T,α
2=(-1,0,3)
T,
所以矩阵A属于特征值λ
1=λ
2=λ
3=1的全部特征向量为K
1α
1+K
2α
2(K
1,K
2是不全为零的任意常数)。
7. 用正交变换化二次型
为标准形,并写出所用的正交变换。
解:二次型的矩阵为
,
所以A的特征值λ
1=4,λ
2=-1;
对于特征值λ
1=4,由方程组(4E-A)x=0,
得到属于λ
1=4的一个特征向量α
1=(-2,1)
T,
单位化得
对于特征值λ
2=-1,由方程组(-1E-A)x=0,
得到属于λ
2=-1的一个线性无关的特征向量α
2=(1,2)
T,
单位化得
令
,则Q为正交矩阵,
且
,所以作正交变换x=Qy,则有