一、单项选择题2. 设矩阵A
*=
,则A
-1=______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
4. 设向量组α
1,α
2,…,α
s可由向量组β
1,β
2,…,β
t线性表出,下列结论中正确的是______。
- A.若s>t,则α1,α2,…,αs线性相关
- B.若β1,β2,…,βt线性相关,则s>t
- C.若s>t,则β1,β2,…,βt线性相关
- D.若α1,α2,…,αs线性相关,则s>t
A B C D
A
[解析] 定理设向量组α1,α2,…,αs可由向量组β1,β2,…,βt线性表出,如果s>t,则α1,α2,…,αs线性相关。
5. 设3元线性方程组Ax=b,已知r(A)=r(A,b)=2,η
1,η
2为其两个不同解,k为任意常数,则方程组Ax=b的通解为______。
A.(η
1-η
2)+k(η
1+η
2)
B.(η
1+η
2)+k(η
1-η
2)
C.
D.
A B C D
二、填空题1. 设
,则a
0=______。
-5
[解析] 令x=0,则a0等于行列式的值-5。
2. 2阶行列式
第2行元素的余子式之和为______。
3
[解析] 第2行元素的余子式分别为2,1,所以和为3。
3. 已知矩阵A=(1,0,-1),B=(2,-1,1),则A
TB=______。
4. 已知矩阵X满足
,则X=______。
[解析]
5. 设向量α
1=(1,1,-1)
T,α
2=(1,-1,1)
T,α
3=(-1,1,1)
T,β=(1,0,0)
T,则β由向量组α
1,α
2,α
3线性表出的表示式为______。
[解析] 观察;
所以
。
6. 设向量组α
1=(-2,1,3)
T,α
2=(1,0,-1)
T,α
3=(k+2,1,0)
T线性相关,则数k=______。
-1
[解析] α1+3α2=(1,1,0)T,所以k+2=1,所以k=-1。
7. 设向量α
1=(1,-1,2)
T与α
2=(4,0,k)
T正交,则数k=______。
-2
[解析] α1Tα2=4+2k=0,解得k=-2。
8. 设3元非齐次线性方程组Ax=6的增广矩阵
经初等行变换化为
若该方程组无解,则数k=______。
-2
[解析] (k+2)(k-1)=0且k-1≠0,解得k=-2。
9. 矩阵
的两个特征值之积等于______。
10. 二次型
的规范形为______。
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 计算4阶行列式
的值。
解:
2. 设矩阵
,求A
*及A
-1。
解:
3. 设A为3阶矩阵,将A第1行的2倍加到第3行得到矩阵B,再将B第2列与第3列互换得到单位矩阵E,求矩阵A。
解:将过程逆操作得
4. 求向量组α
1=(1,2,3,-1)
T,α
2=(2,3,4,-3)
T,α
3=(0,0,1,2)
T,α
4=(3,4,3,-9)
T,α
5=(1,1,2,0)
T的秩和一个极大线性无关组,并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出。
解:
所以向量组的秩为3;α
1,α
2,α
3是向量组的一个极大线性无关组,
且α
4=-α
1+2α
2-2α
3,α
5=-α
1+α
2+α
3。
5. 求线性方程组
的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)。
解:对增广矩阵施以初等行变换
得到
所以通解为
(c为任意常数)。
6. 设矩阵
,求正交矩阵Q和对角矩阵A,使Q
-1AQ=A。
解:
所以A的特征值λ
1=0,λ
2=λ
3=2;
对于特征值λ
1=0,解齐次线性方程组Ax=0,
得到属于λ
1=0的一个特征向量α
1=(1,0,-1)
T,
单位化得
;
对于特征值λ
2=λ
3=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,
得到属于λ
2=λ
3=2的两个线性无关的特征向量
α
2=(0,1,0)
T,α
3=(1,0,1)
T,
正交化得β
2=(0,1,0)
T,β
3=(1,0,1)
T,
单位化得p
2=(0,1,0)
T,p
3=
,
所以
,
满足条件。
7. 用配方法将二次型
化为标准形,并写出所作的可逆线性变换。
解:
所以经此可逆变换,可将二次型化为标准形
。