二、填空题1. 行列式
=______。
2. 设
,则a
1=______。
3. 设A为2阶矩阵,若将A第二列的2倍加到第一列得到矩阵
,则A=______。
4. 设A,B均为2阶可逆矩阵,则
=______。
5. 已知向量组α
1=(1,1,0)
T,α
2=(3,0,k)
T,α
3=(1,2,3)
T,线性相关,则k=______。
6. 设α
1,α
2是非齐次线性方程组Ax=b的解,k
1,k
2是常数,若k
1α
1+k
2α
2也是Ax=b的一个解,则k
1+k
2=______。
7. 设线性方程组
有解,则数a,b,c应满足______。
8. 设3阶矩阵A的特征值为1,-2,3,则|A
2+E|=______。
9. 若n阶矩阵A满足|3E+2A|=0,则A必有一个特征值为______。
10. 二次型f(x
1,x
2,x
3)=x
1x
2+x
2x
3的矩阵为______。
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 计算行列式
。
解:
。
2. 设矩阵
,求A
2+2A+E。
解:
。
3. 设矩阵A和B满足AB=A+2B,其中
,求矩阵B。
解:由AB=A+2B,得(A-2E)B=A。
因为
,
所以A-2E可逆,且
,
因此
。
4. 求向量组α
1=(1,2,1,4)
T,α
2=(0,3,-1,-3)
T,α
3=(1,-2,8,8)
T,α
4=(2,3,8,9)
T的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表出。
解:由于
因此向量组的一个极大无关组是α
1,α
2,α
3,且α
4=α
1+α
2+α
3。
5. 设线性方程组
确定k取何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)。
解:设方程组的系数矩阵为A,增广矩阵为
,
当k≠1且k≠-3时,r(A)=r(
)=3,方程组有唯一解;
当k=1时,r(A)=2,r(
)=3,r(A)<r(
),方程组无解;
当k=-3时,r(A)=r(
)=2<3,方程组有无穷多解。
此时
,
对应的线性方程组为
,令x
3=0,得特解
,
在导出组
中,令x
3=1,得基础解系
,
所求通解为
,(其中C为任意常数)。
6. 设矩阵
与对角矩阵
相似,求常数a的值和可逆矩阵P,使得P
-1AP=B。
解:由于A与对角矩阵B相似,有tr(A)=tr(B),即a+1=-1,得a=-2;A的特征值为-1,2,-2。
对应的特征向量依次为ξ
1=(0,-2,1)
T,ξ
2=(0,1,1)
T,ξ
3=(-1,0,1)
T,
令
,则P可逆,且P
-1AP=B。
7. 求正交变换x=Qy,将二次型
化为标准形。
解:二次型的矩阵
,
由
,得A的特征值为λ
1=3,λ
2=7,
当λ
1=3时,齐次方程组(3E-A)x=0的基础解系为ξ
1=(1,1)
T,单位化得
;
当λ
2=7时,齐次方程组(7E-A)x=0的基础解系为ξ
2=(-1,1)
T,单位化得
。
令
,则Q为正交矩阵,
从而经正交变换x=Qy,化为标准形
。
四、证明题(7分)1. 设n阶矩阵A≠E,且满足r(A+E)+r(A-E)=n,证明:-1是A的一个特征值。
证:
由于A≠E,即A-E≠0,则r(A-E)≥1;
又r(A+E)+r(A-E)=n,得r(A+E)<n;
所以n阶矩阵A+E不可逆,即|A+E|=0;
因此-1是A的一个特征值。