二、填空题1. 行列式
=______。
2. 若行列式
中元素a
ij的代数余子式为A
ij(i,j=1,2),则a
11A
12+a
21A
22=______。
3. 矩阵(A,E)经初等行变换化为(E,B),则B=______。
4. 已知矩阵
,则A
2-2A+E=______。
5. 设向量α
1=(1,1,1)
T,α
2=(1,1,0)
T,α
3=(1,0,0)
T,β=(1,2,3)
T,则β由向量组α
1,α
2,α
3线性表出的表示式为______。
6. 设A是5×6矩阵,r(A)=3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解析中包含解向量的个数为______。
7. 已知线性方程组
无解,则数a=______。
8. 设α=(1,1,-2)
T是3阶矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,则Aα=______。
9. 设λ
0=-2是n阶矩阵A的一个特征值,则矩阵3E-A必有一个特征值是______。
10. 若实二次型
正定,则数λ的取值范围为______。
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 计算行列式
的值。
解:
2. 已知矩阵
,若矩阵X满足等式XA=2B+X,求X。
解:
将等式XA=2B+X整理为X(A-E)=2B,
由于
可逆,且
,
得到
。
3. 设向量α=(1,-1,2)
T,β=(1,3,2)
T,且A=αβ
T,求A和A
10。
解:
4. 求向量组
的一个极大线性无关组,并将其余向量由该极大线性无关组线性表出。
解:
所以向量组的一个极大无关组为α
1,α
2且
(极大无关组不唯一)
设A为3×4矩阵,r(A)=2,且已知非齐次线性方程组Ax=b的3个解为η1=(1,-1,0,2)T,η2=(2,1,-1,4)T,η3=(4,5,-3,11)T,求5. 齐次线性方程组Ax=0的通解;
解:由题设知α1=η2-η1=(1,2,-1,2)T,α2=η3-η1=(3,6,-3,9)T,
是Ax=0两个线性无关的解,
又Ax=0的基础解系数由n-r(A)=4-2=2个解向量构成,
因此Ax=0的通解可表示为α=k1α1+k2α2,k1,k2为任意常数。
6. 非齐次线性方程组Ax=b的通解。
解:方程组Ax=b的通解可表示为
。
7. 求矩阵
的全部特征值与特征向量,并指出A能否对角化。
解:
,
故A的特征值为λ
1=λ
2=1,λ
3=-2。
对于λ
1=λ
2=1,求解齐次线性方程组(E-A)x=0,得到基础解系
α
1=(1,0,0)
T,α
2=(0,-1,1)
T 从而A的属于特征值λ
1=λ
2=1的全部特征向量为k
1α
1+k
2α
2。
其中k
1,k
2是不全为零的任意常数。
对于λ
3=-2,求解齐次线性方程组(-2E-A)x=0,得到基础解系
α
3=(3,1,-4)
T 从而A的属于特征值λ
3=-2的全部特征向量为k
1α
1。
其中k
1是不为零的任意常数。
因为3阶矩阵A有3个线性无关的特征向量,所以A可以对角化。
8. 求正交变换x=Py,将二次型
化为标准形,并写出相应的标准形。
解:二次型的矩阵为
故A的特征值为λ
1=5,λ
2=1。
对于λ
1=5,方程组(5E-A)x=0的基础解析
,单位化得
,
对于λ
2=1,方程组(E-A)x=0的基础解析
,单位化得
,
由此得到正交矩阵
,则所求正交变换为x=Py,
相应的标准形为
。