一、单项选择题(在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)2. 设A为2阶矩阵,若已知
,则A
-1=______
A.
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析]
二、填空题1. 已知行列式
,则第3列元素的代数余子式之和A
13+A
23+A
33=______.
0
[解析]
2. 设α
1,α
2,β
1,β
2是3维列向量,且3阶行列式|α
1,α
2,β
1|=m,|α
2,β
2,α
1|=n,则|α
2,α
1,β
1+β
2|=______.
-m-n
[解析] |α2,α1,β1+β2|=|α2,α1,β1|+|α2,α1,β2|=-|α1,α2,β1|-|α2,β2,α1|=-m-n.
3. 若α=(1,2,3,4)
T,则α
Tα=______.
30
[解析]
4. 设A为2阶矩阵,将A的第1行与第2行互换得到矩阵B,再将B的第2行加到第1行得到单位矩阵E,则A=______.
5. 设矩阵
,r(A)=2,则数a=______.
-2
[解析]
=(a+2)·(a-1)
2=0,a=-2或1,当a=1时,矩阵的秩为1,舍去,故a=-2.
6. 设向量组α
1=(a,2,3)
T,α
2=(1,1,-1)
T,α
3=(2,-4,5)
T,若存在不全为零的常数k
1,k
2,k
3,使得k
1α
1+k
2α
2+k
3α
3=0,则数a=______.
32
[解析]
7. 设向量η是4元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则r(A)=______.
8. 设矩阵
相似,则数a=______.
3
[解析] 矩阵A与B相似,故有1+a+1=0+1+4,a=3.
9. 设3阶矩阵A的特征值为2,3,4,则|A-E|=______.
6
[解析] 矩阵A的特征值为2,3,4,故A-E的特征值为1,2,3,因此|A-E|=1×2×3=6.
10. 设二次型
正定,则数t的取值范围为______.
[解析] 二次型正定,因此
三、计算题(每小题9分,共63分)1. 计算行列式
的值.
解:
2. 设矩阵
,求BA+B
T.
解:
3. 设
,矩阵X满足关系式A+6X=AX,求X.
解:由A+6X=AX可得(A-6E)X=A,
,得|A-6E|=36≠0,故A-6E可逆,
4. 求向量组α
1=(1,0,1,-1)
T,α
2=(2,2,0,1)
T,α
3=(-1,1,-1,1)
T,α
4=(6,8,0,3)
T的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表出.
解:
因此向量组的秩为3,一个极大无关组是α
1,α
2,α
3.
α
4=2α
1+3α
2+2α
3.
(答案不唯一)
5. 求线性方程组
的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).
解:对非齐次线性方程组的增广矩阵作初等行变换:
η
*=(0,4,0)
T,导出组的一个基础解系为ξ=(-3,-1,1)
T.
从而线性方程组的通解为x=kξ+η
*,其中k是任意常数.
6. 判定矩阵
能否相似于对角矩阵,说明理由.
解:矩阵A的特征多项式
得A的特征值为λ
1=λ
2=0,λ
3=1,
对于特征值λ
1=λ
2=0,由于r(0E-A)=2,
所以A的属于2重特征值λ
1=λ
2=0的线性无关的特征向量只有1个,
故A不能与对角矩阵相似.
7. 求正交变换x=Qy,将二次型
化为标准形.
解:
得到A的特征值λ
1=λ
2=-1,λ
3=5,
当λ
1=λ
2=-1时,方程组(-E-A)x=0的基础解系为