一、单项选择题4. 设AB为从点A(1,0)沿曲线
到点B(0,1)的弧段,则下列等式正确的是
D.
,其中的f(x,y)是连续函数,f
1(x,y)、f
2(x,y)是有连续的偏导数的函数
A B C D
A
如果将L的参数方程表示为
于是
B应为
C应为
D不正确,因为
未必与积分路径无关.
三、计算题1. 已知a={1,1,-4},b={1,-2,2},求(1)a·b;(2)a与b的夹角;(3)a在b上的投影ab.
(1)a·b=1×1+1×(-2)+(-4)×2=-9
(2)设夹角为φ,那么
(3)a·b=|a|·|b|cosφ=|b|a
b ∴a在b上的投影为
2. 求曲面x
2+y
2+z
2=25上点(2,3,
)处的切平面和法线方程.
令F(x,y,z)=x
2+y
2+z
2-25,则F
x=2x,F
y=2y,F
z=2z
从而
故取法向量
,于是切平面方程为
即
法线方程为
3. 求函数u=x
3+2y
2+3z
2+xy-xz在点(1,1,1)处的梯度.
故gradu(1,1,1)={3,5,5}
4. 函数z=z(x,y)由方程x+2y+z-
=0所确定,求
.
5. 求f(x,y)=(4x-x
2)(2y-y
2)的极值.
令f
x(x,y)=(4-2x)(2y-y
2)=0
f
y(x,y)=(2-2y)(4x-x
2)=0
得驻点(2,1)(0,0)(0,2)(4,0)(4,2)
A=f
xx(x,y)=-2y(2-y),B=f
xy=4(2-x)(1-y),C=f
yy(z,y)=-2x(4-x)
列表进行判断
(x,y) |
A |
B |
C |
B2-AC |
取极大值情况 |
(2,1) |
-2 |
0 |
-8 |
-16 |
取极大值4 |
(0,0) |
0 |
8 |
0 |
64 |
非极值 |
(0,2) |
0 |
-8 |
0 |
64 |
非极值 |
(4,0) |
0 |
-8 |
0 |
64 |
非极值 |
(4,2) |
0 |
8 |
0 |
64 |
非极值 |
即f(x,y)只有一个极大值f(2,1)=4.
6. 计算二重积分
,D:ax≤x
2+y
2≤a
2,x≥0,y≥0(a>0).
7. 计算
,其中L为依逆时针方向绕圆周x
2+y
2=R
2一周的路径.
L的参数议程:
8. 设L是圆周x
2+y
2+2y=0,求关于弧长的曲线积分
.
L的参数方程:
9. 计算关于坐标的曲面积分
,其中∑是由平面2y+2z-3=0,z=0及圆柱面x
2+y
2=1围成的立体的边界曲面(外侧).
10. 求幂级数
的收敛区间.
令x-3=t,原级数转化为
故级数(1)的收敛半径R=1.当t=1时级数(1)成为
收敛,故级数
收敛.当t=-1时,级数(1)成为
是交域为[-2,4].
11. 函数
的傅立叶级数展开式
,求系a
0.
12. 设有微分方程y"-4y'+4y=f(x),试根据f(x)=xe
2x,写出其相应特解的形式.
方程对应的齐次方程的特征方程为r2-4r+4=0
有两个相同的实根r1=r2=2
由于r=2是特征方程的重根,n=2.故应设y*=x2(b0x+b1)e2x
四、综合题1. 将函数f(x)=xe
-2x展开成x的幂级数.
2. 验证(3x
2y+8xy
2)dx+(x
3+8x
2y+12ye
y)dy是某个函数u(x,y)的全微分,并求出函数u(x,y).
P(x,y)=3x
2y+8xy
2,Q(x,y)=x
3y+8x
2y+12ye
y 所以,所给的微分表达式是某个函数u(x,y)的全微分.
3. 设函数f(x)在[0,1]上连续,证明
.
设
则积分区域D={(x,y)|0≤x≤1,x
2≤y≤1}交换二次积分的积分顺序有
∴等式成立.