二、填空题1. 设
且f为可微函数,则全微分dz=______.
2. 设
,则
=______.
3. 设Ω为:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1,则
=______.
4. 极限
=______.
5. 设一阶线性微分方程
,已知P(x),Q(x)是连续函数,则它的通解为______.
因为所给的一阶线性微分方程为
∴它的通解为
三、计算题1. 求过点A
0,1,1),B1,2,0)与x轴平行的平面方程.
设所求平面的法向量为n,则
又
,在x轴上取单位向量i={1,0,0},则n⊥i,取
-k,故所求平面方程为(-1)(y-1)+(-1)(z-1)=0,即y+z-2=0
2. 求抛物面z=3x
2+4y
2在点(0,1,4)处的切平面方程.
zx=6x,zy=8y,zx(0,1)=0,zy(0,1)=8
故取法向量n={0,8,-1}∴切平面方程为0·(x-0)+8(y-1)-(z-4)=0
即8y-z=4
3. 设三元函数
,求在点A(1,0,1)处沿A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数.
4. 求由方程2xz-2xyz+ln(xyz)=0确定的隐函数z=z(x,y)在(1,1)处的微分.
令F(x,y,z)=2xz-2xyz+ln(xyz),则
反x=1,y=1代入原方程求得z=1
5. 求二元函数z=x
2-xy+y
2-2x+y的极值.
6. 计算
,其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形区域.
积分区域如图所示
7. 计算
,其中L是x
2+y
2=4x的上半圆周由A(4,0)至B(0,0).
积分路线如图所示
∵P=y+2xy Q=x
2+x+y
2 ,故积分与路径无关
8. 计算
.L:星形线
的周长为L.
由于被积函数定义在积分曲线上,因此变量x,y满足积分路线L的方程.
10. 求幂级数
的和函数.
由于
∴收敛半径R=1,设在(-1,1)内
11. 判定级数
的敛散性.若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛.
这是一个交错级数,其一般表达式为
,其中
由莱布尼茨判别法知原级数收敛.
,而
发散,由比较判别法知级数
发散.故原级数为条件收敛.
12. 求微分方程y"-4y=2e
2x的通解.
特征方程为r
2-4=0 ∴r
1=2,r
2=-2
故齐次方程的通解为
又λ=2是特征方程的单根,故设原方程的一个特解为
四、综合题1. 设f(x)是以2π为周期的周期函数,它在一个周期[-π,π]上的表达式
;记f(x)的傅里叶级数的和函数为S(x),求S(1),S(π).
由收敛定理得
(∵x=π是区间[-π,π]的端点)
2. 某厂生产两种产品,产量分别为x,y,生产总成本C=800+34x+70y.销售总收入为R=134x+150y-2x
2-2xy-y
2.现以两种产品总数为30件计算,两种产品的产量各为多少时,才能取得最大利润?
总利润为f(x,y)=R-C=100x+80y-2x
2-2xy-y
2-800
本题所求的是f(x,y)在条件x+y=30下的最大值
建立拉格朗日函数L(x,y,λ)=100x+80y-2x
2-2xy-y
2-800+λ(z+y-30)
∴当x=10,y=20时总利润最大
3. 设有一质量为m的质点,以初速度v
0竖直上抛,假定空气阻力与速度成正比,求速度v与时间t的函数关系.
设空气阻力与速度的比例系数为k
由题意得
分离变量
积分得
令