二、填空题1. 设u=f(x)可导,则复合函数u=f(xyz)的全微分du=______.
yzf'(xyz)dx+xzf'(xyz)dy+xyf'(xyz)dz
由题得
2. 设
=______.
.
3.
=______.
4. 设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)上的表达式为
(常数k≠0),则f(x)的傅立叶级数的和函数在x=2处的值为______.
∵x=2为[-2,2]的端点,∴
5. 微分方程(x
2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0满足初始条件
的特解为______.
x2y-y-sinx+1=0
将所给微分方程改写成(x
2dy+2xydx)-dy-cosxdx=0
即d(x
2y-y-sinx)=0
所以,所给微分方程通解为x
2y-y-sinx=c
由
得c=-1
∴满足初始条件的特解为x
2y-y-sinz+1=0
三、计算题1. 求直线
与平面2x+y+z-6=0的交点.
所给直线的参数方程为z=2+t,y=3+t,z=4+2t,
代入平面方程中,得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0
解方程,得t=-1,把求得的t值代入直线的参数方程中,得x=1,y=2,z=2,即得所求交点的坐标为(1,2,2)
2. 求点P(1,1,1)到旋转抛物面S:z=x
2+y
2在点(1,1,2)处的切平面的距离.
记F(x,y,z)=x
2+y
2-z,则
2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0,即2x+2y-z-2=0
3. 设二元函数
求
,其中l为点(0,0)到点(1,1)的方向.
当(x,y)≠(0,0)时,
4. 设函数a=f(e
xcosy,lny,3x
2)具有连续的二阶偏导数.求
.
根据复合函数求导法
再对y求导得:
5. 求平面3x+4y-z-26=0上距原点最近的点.
设P(x,y,z)为平面上任一点,P到原点的距离为d.
代入平面方程求得z=-1,平面上距离原点最近的点是存在的.现在驻点只有一个,因此x=3,y=4,z=1一定使d取得最小值.
6. 求二重积分
.其中B是矩形域[-1,1,-2,2].
7. 计算
.其中L为:x=a(t-sint),y=a(1-cost).(0≤t≤2π_
8. 求
,L是曲线y=x
2-2x上以0(0,0)为起点,A(4,8)为终点的曲线弧.
9. 计算关于坐标的曲面积分
,其中∑为有向曲面z=x
2+y
2(0≤z≤1)的外侧.
设S是平面z=1被∑截下的有限部分的上侧,则
10. 已知级数
收敛,求出a的取值范围.
故当|a|<1时级数
收敛.当a=1时
收敛.当a=-1时,
由莱布尼茨判别法知收敛∴-1≤a≤1
11. 求x+2x
2+3x
3+…+nx
n+…的和函数.(-1<x<1)
令和函数为s(x),则
四、综合题1. 将函数
展开为x+4的幂级数,并求此级数的收敛域.
由
知
2. 证明由方程2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定的隐函数z=z(x,y)满足
.
证明:令F(x,y,z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z
则F'
x=2cos(x+2y-3z)-1,F'
y=4cos(x+2y-3z)-2.F'
z=-6cos(x+2y-3z)+3
3. 证明:
.(0≤x≤π)
先将F(x)=3x
2-6πx(0≤x≤π)展开为余弦级数作偶延拓,于是b
n=0,n=1,2…