二、填空题1. Oxy面上的椭圆
绕x轴旋转所形成的旋转面的方程是______.
2. 函数
的定义域是______.
{(x,y)|0<x2+y2≤4}
要使函数有意义,则
3. 设z=uv+sinω,u=e
t,v=cost,ω=t,则
=______.
et(coxt-sint)+cost
=v·e
t+u(-sint)+cosω·1=cost·e
t(-sint)+cost
4. 设积分区域V是:1≤x≤2,3≤y≤4,5≤z≤6,则
=______.
5. 用待定系数法求方程y"-4y'+4y=(2x+1)e
2x的特解时,应设特解
=______.
x2(ax+b)e2x
它对应的齐次方程的特征方程为λ
2-4λ+4=0∴r
1=r
2=2,λ=2为对应齐次办程的二重特征根.故应设非齐次方程的一个特解为
三、计算题1. 求过点(0,2,4)且与平面x+2z=1及y-2z=2都平行的直线方程.
设所求直线的方向向量n={a,b,c}
则a+2c=0,b-2c=0,∴a=-2c=-b
故取n={-2,2,1}
则所求直线方程为
2. 设z=arcsin(xy),x=se
t,y=t
2,则
.
3. 求曲面xe
z-xyz-2=0在点(1,0,ln2)处的切平面方程.
令F(x,y,z)=xe
z-xyz-2
则F
x=e
z-yz,F
y=-xz,F
z=xe
z-xy
故所求切平面方程为2(x-1)+(-ln2)(y-0)+2(z-ln2)=0
即2x-ln2·y+2z=2+2ln2
4. 求函数f(x,y,z)=x
3+x2y+y
2z+z
2+1在点(1,1,1)处的梯度.
F
x=3x
2+2xy,F
y=x
2+2yz,F
z=y
2+2z
5. 求函数f(x,y)=x
2+xy+y
2+x-y+2的极值.
∵F(x,y) =x
2+xy+y
2+x-y+2 令
A=F
xx(-1,1)=2,B=F
xy(-1,1)=1,C=F
yy(-1,1)=2
∴B=AC=-3<0又A=2>0 ∴f(x,y)在(-1,1)处取得极小值.
极小值为f(-1,1)=1
6. 设区域D是由曲线y=x,y=2x-x
2所围成的平面区域,求二重积分
.
积分区域如图所示
7. 求曲线
,其中L为椭圆等
,其周长为a.
8. 求曲线积分
,其中L是正向椭圆4x
2+y
2=8x.
9. 计算
.其中D是圆形区域x
2+y
2≤1.
令x=rcosθ,y=rsinθ,则0≤0≤2π,0≤r≤1
11. 判断级数
的敛散性.
记
,考虑函数f(x)=e
x-1(x≥0) 由于f(x)在[0,+∞)上连续,(0,+∞)内可导,且f'(x)=e
x-1>0∴当x>0时f(x)>f(0)=0,即f(x)是正值单调增加函数.由此可知所给级数为交错级数,{u
n}单调减少,又
,山莱布尼茨定理知所给级数收敛.
四、综合题1. 设函数z=f(x
2-y
2,y
2-x
2),其中f具有连续的一阶偏导数.
证明:
设u=x
2-y
2,v=y
2-x
2,则z=f(u,v)
2. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明
.
设
则积分区域D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤
}交换二次积分的积分次序有
∴等式成立
3. 没一物体占有空间区域Ω={(x,y,z)|0≤x≤2,0≤y≤1,0≤z≤3},该物体在点(x,y,z)处的密度为ρ(x,y,z)=x+2y+z,求这个物体的质量.
由题意知