一、单项选择题2. 设f(x,y)在点(x
0,y
0)处偏导数存在,则
=
A.2f
x(x
0,y
0) B.f
x(x
0,y
0)
C.f
x(2x
0,y
0) D.
A B C D
3. 设B是圆形区域x
2+y
2≤4,则二重积分
=
A.
B.
C.4π D.π
A B C D
B
令x=rcosθ,y=rsinθ,则0≤θ≤2π,0≤r≤2 ∴
二、填空题1. 向量a={4,-3,4}在b={2,2,1}的投影为______.
2. 设函数
=______.
3. 设函数u(x,y,z)=x
2+2xy+z
2+2,则gradu(1,0,-1)=______.
4. 幂级数
在其收敛域中的和函数s(x)=______.
5. 微分方程x
2dy+(3xy-y)dx=0的通解是______.
三、计算题1. 求过三点M
1(2,-1,4),M
2(-1,3,-2),M
3(0,2,3)的平面方程.
先求平面的法向量n
又
故所求平面方程为14(x-0)+9(y-2)-(z-3)=0
2.
3. 求函数u=xy
2+z
2-xyz在点(1,1,2)处,沿点A(1,1,2)到点8(4,5,14)的方向l的方向导数.
4. 设
,其中l有连续的偏导数,求
.
5. 计算
,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2及曲线
所围成的平面区域.
积分区域如图所示
6. 计算
,其中L为折线|x|+|y|=I所围成的区域的整个边界.
积分区域如图所示
7. 计算
,其中L是椭圆x
2+4y
2=1,对应于x从-1到1的那一段弧(在第一、二象限).
积分区域如图所示
将L的方程化为参数方程
8. 计算曲面积分
,其中∑为球面x
2+y
2+z
2=R
2的外侧.
9. 求幂级数
的收敛区间.
10. 求幂级数1·2x+2·3x
2+…+n(n+1)x
n+…的和函数.
故收敛半径R=1,当x=±1时,因通项不趋于零,知原级数发散.故原级数的收敛区间为(-1,1)
11. 求微分方程xy'+y=xe
x满足条件
的特解.
原方程变形为
这是一阶线性微分方程.
其通解为
把x=1,y=1代入得C=1,故特解为
12. 求微分方程(3x
2+2xy-y
2)dx+(x
2-2xy)dy=0的通解.
,故所给方程为全微分方程
其通解为
四、综合题1. 设
,试问在点(0,0)处f(0,y)是否连续?偏导数是否存在?
故f(x,y)在(0,0)处不连续.
2. 选取a,b使
为函数u(x,y)的全微分.
3. 将函数
展开为(x-3)的幂级数.
∵
∴0<x<6