二、填空题1. 已知向量α={k,2,-1}和β={2,-1,-1}垂直,则常数k=______.
2. 设函数
=______.
3. 设二次积分
,则交换积分次序后得I=______.
4. 微分方程
的通解为______.
5. 设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-π,π)上表达式为
则f(x)的傅里叶级数的和函数在x=0处的值为______.
三、计算题1. 设平面π经过点P
1(4,2,1)和P
2(-2,-3,4),且平行于y轴,求平面π的方程.
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0
∵点P
1和P
2在平面上
∵平面平行于y轴
∴{A,B,C}⊥{0,1,0}
即B=0 ③
联立①②③得
所以所求平面方程为
x+2z-6=0
已知平面π:2x+y+z=3和直线L:2. 写出直线L的对称式方程;
L的方向向量为
点(-2,0,3)在直线L上
所以直线L的对称式方程为
3. 求平面π与直线L的交点.
解得L与π的交点坐标为(1,-1,2)
4. 求椭球面x
2+2y
2+z
2=4在点(1,-1,1)处的切平面方程和法线方程.
设F(x,y,z)=x
2+2y
2+z
2-4
所以所求切平面方程为
2(x-1)-4(y+1)+2(z-1)=0
即x-2y+z-4=0 所求法线方程为
5. 已知方程x
2+y
2-4y+z
2=3确定函数z=z(x,y),求
.
从而
6. 设积分区域D是由坐标轴及直线x+y=1所围成,求二重积分
.
7. 设积分区域Ω由上半球面
及平面z=0所围成,求三重积分
.
8. 设L为折线OAB,其中O(0,0),A(1,1),B(1,0),求曲线积分
.
9. 设∑为坐标面及平面x=1,y=1,z=1所围成的正方体表面的外侧,计算曲面积分
.
设Ω:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1
由高斯公式得
10. 求微分方程
的通解.
两边积分有
lnlny=lnx+lnC
所以通解为 y=e
Cx
11. 求微分方程
的通解.
∵P(x)=2 Q(x)=e
x
12. 判断无穷级数
的敛散性.
由正项级数比值审敛法
∴原级数收敛
13. 求幂级数
的收敛半径和收敛域.
因为
所以收敛半径R=1
由|x-3|<1 得2<x<4 所以收敛区间为(2,4)
又因为当x=2时,级数
收敛
当x=4时,级数
收敛
所以收敛域为[2,4]
四、综合题1. 求函数f(x,y)=4(x-y)-x
2-2y
2的极值.
∴得驻点坐标为(2,-1)
而△=B
2-AC=-8<0 且A=-2<0
∴f(x,y)在点(2,-1)处取得极大值为f(2,-1)=6
2. 验证在整个oxy平面内
(4x
3y
3-3y
2+5)dx+(3x
4y
2-6xy-)dy
是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).
令P(x,y)=4x
3y
3-3y
2+5
Q(x,y)=3x
4y
2-6xy-4
因为
在oxy平面内处处成立,所以表达式是某个二元函数u(x,y)的全微分,且可取
3. 将函数f(x)=xarctanx展开为x的幂级数.