二、填空题1. 向量
与x轴的夹角a=______.
[解析] 取x轴上一向量b={1,0,0},则
,所以
.
2. 设函数
,则
______.
[解析] 因为
,所以
.
3. 设∑是上半球面
的上侧,则对坐标的曲面积分
______.
4. 微分方程y″+3y′=sinx的阶数是______.
5. 设f(x)是周期为2π的函数,f(x)在[-π,π)上的表达式为
S(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数,则S(0)=______.
0
[解析] 由狄里克雷收敛准则得,
.
三、计算题1. 设平面π过点P
1(1,2,-1)和点P
2(-5,2,7),且平行于y轴,求平面π的方程.
解:设平面π为Ax+By+Cz+D=0
∵平面π平行于y轴
∴{A,B,C}·{0,1,0}=0,得B=0
∵点P
1(1,2,-1)和P
2(-5,2,7)在平面π上
∴
得
所以所求平面π:4x+3z-1=0.
2. 设函数
,求
.
3. 设函数z==e
2x-3y2,求全微分dz.
解:∵
∴
4. 设函数z=f(x
2-y
2,2xy),其中f(u,v)具有一阶连续偏导数,求
和
.
解:设u=x
2-y
2,v=2xy
5. 求曲面x
2+y
2+2z
2=23在点(1,2,3)处的切平面方程.
解:设F(x,y,z)=x2+y2+2z2-23,设P0(1,2,3)
∵Fx(1,2,3)=2x|P0=2,Fy(1,2,3)=2y|P0=4,Fz(1,2,3)=4z|P0=12
∴所求平面方程为2(x-1)+4(y-2)+12(z-3)=0
即x+2y+6z=23.
6. 计算二重积分
,其中积分区域D:x
2+y
2≤a
2.
解:
7. 计算三重积分
,其中Ω是由曲面z=x
2+y
2,z=0及x
2+y
2=1所围区域.
解:
8. 计算对弧长的曲线积分
,其中C是圆周x
2+y
2=4的上半圆.
解:C:x=2cost,y=2sint(0≤t≤π)
9. 计算对坐标的曲线积分∮
C(1-3y)dx+(1-2x+y)dy,其中C为区域D:|x|≤1,|y|≤1的正向边界曲线.
解:由格林公式
10. 求微分方程e
2x-ydx-e
x+ydy=0的通解.
解:原方程可化为e
2ydy=e
xdx
两边积分
所以通解为
11. 判断无穷级数
的敛散性.
解:∵
而且
收敛.
∴由正项级数比较判别法得
收敛
从而
收敛.
12. 将函数
展开为x+1的幂级数.
解:
四、综合题1. 设函数
,其中φ(u)为可微函数.
证明:
证明:∵
∴左边
右边.
2. 设曲线y=y(x)在点(x,y)处的切线斜率为
,且曲线过点(1,1),求该曲线的方程.
解:由题意
,y(1)=1
即
解微分方程得
由y(1)=1,得C=0
所以所求曲线为y=x
3(x≠0).
3. 证明:无穷级数