计算题1. 某投资者在30年内,每年年末向银行投资。银行在每年末以年利率j支付利息。投资者所得利息立即被再投资,再投资利率为年实际利率
。这些利息在30年之间的积累值为72.88。求j。
2. 某人希望购买一项年金,该项年金在第1年末的付款为1000元,以后每年增加100元,总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%,这项年金的现值应该是多少?
3. 一项永续年金在第1年末支付1,第2年末支付2。这样增加下去直至第n年末支付n,然后一直维持每年支付n,试确定此项年金的现值。
4. 一项永续年金在第4年初支付2,第6年初支付4,第8年初支付6,第10年初支付8,年实际利率为10%,计算其现值X。
5. 在年实际利率为i时下列两项年金的现值均为X:年金A在每年末支付55,支付20年;年金B支付30年期,其中前10年每年末支付30,中间10年每年末支付60,最后10年每年末支付90。求X。
A的现值为:
B的现值为:
故55(1+v
10)=30+60v
10+90v
20i=0.07177
X=574.74
6. 一项9年期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,4,3,2,1,第一次支付在第二年末,当年实际利率为i时该年金的现值为22。一项10期年金的一系列付款为1,2,3,4,5,5,4,3,2,1,第一次支付在第一年末,计算该年金在年实际利率i下的现值。
PV
9=v
2+2v
3+3v
4+4v
5+5v
6+4v
7+3v
8+2v
9+v
10 PV
10=v+2v
2+3v
3+4v
4+5v
5+5v
6+4v
7+3v
8+2v
9+v
10
7. 一项年金在第1年末付款1元,以后每年增加1元,直至第n年。从第n+1年开始,每年递减1元,直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值。
8. 一项年金在第一年末的付款为1000元,以后每年增长10%,总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%,这项年金的现值是多少?
9. 一项期末付年金,每半年的付款为800,750,700,…,350,i
(2)=0.16。若
,试写出此年金的现值表达式(用A表示)。
10. 投资者在第1年的每个季度初存款1,第2年的每季度初存款2,以此类推,第8年的每季度初存款8。假设年实际利率为8%。在最后一笔存款之后的一个季度末,投资者取出这项存款用于购买一项每年末均支付X的永续年金。计算X。
每季度复利一次的利率为:(1+8%)
1/4-1=0.0194
所有存款在第8年末的终值为:
11. 投资者选择如下方式获得他的20年期退休金:从现在开始一个月后每月领取2000,月度退休金每年增加3%,每月复利一次的年名义利率为6%。计算该项退休金的现值。
每月支付2000等价于年末支付
,因此年金的现金流等价于
分别在时刻k=1,2,3,…,20支付
,当i
(12)=0.06
(i=0.061678)时,现值为
,故现值为343320
12. 每年初向基金中投入一笔资金,持续10年。前5次投资金额均为1000,从第6次开始以后每年递增5%。若基金的实际利率为8%,试确定第10年末的累积值。
13. 投资者在时刻1收到400元,时刻2收到450元,时刻3收到500元,依此类推,直到最后一次收到900元,假设每个时期的实际利率为5%,请计算这些付款在时刻0的现值和在时刻12的终值。
一共有n次付款,最后一次付款发生在时刻11,现值为:400v+450v
2+500v
3+…+900v
11=
终值为:5197.5015(1.05)
12=9333.98
14. 一个现金流的付款如下:现在支付1000元,1年后支付1070元,2年后支付1140元,3年后支付1210元,依此类推,直到最后一次支付1700元。假设年实际利率为8%,试计算这个现金流在时刻0的现值和在第11年末的终值。
一共有11次付款,最后一次付款发生在时刻10,现值为:1000+1070v+1140v
2+…+1700v
10=
其终值为:9998.163(1.08)
11=23312.11
15. 投资者在第1年末收到500元,在第2年末收到480元,在第3年末收到460元,依此类推,直到最后一次收到300元,假设年实际利率为6%,试计算这个现金流在第1年初的现值和在第20年末的终值。
最后一次付款发生在第11年末,现值为:500v+480v
2+…+300v
11=
在第20年末的终值为:3246.032(1.06)
20=10410.46
16. 一个现金流如下:现在支付50元,此后每年比上一年减少10元直到第4年末,然后每年的付款又比前一年增加10元,直到第8年末。假设年实际利率为9%,试计算这个现金流在时刻0的现值。
这组付款在时刻零的现值为:50+40v+30v
2+20v
3+…+40v
7+50v
8 前5次付款的现值为:50+40v+30v
2+20v
3+10v
4=
后4次付款类似于期初付递增年金,其在第4年末的价值为:20v+30v
2+40v
3+50v
4=
后4次付款在时刻零的现值为:109.90764(1.09)
-4=77.86134
这组付款的总现值:134.48+77.86134=212.34
17. 投资者需要在第10年末筹集到80000元,因此他现在投资X元,在1年末投资X-500元,在第2年末投资X-1000元,直到第9年末投资X-4500元,假设年实际利率为6%,试计算X的值。
此项投资在第10年末的终值为:
80000=(X-5000)(13.97164)+500(83.52247)
X=7736.88
18. 某银行有一项特殊业务,如果现在存入银行X元,银行将在第5年末返还3000元,在第6年末返还2900元,在第7年末返还2800元,依此类推,最后一次返还在第15年末。假设年实际利率为6%,试计算X的值。
共有11次给付,第一次给付为3000元,最后一次给付为2000元。在第4年末的价值为
,在时刻零的价值为:
19. 假设在第5年末投资200元,在第6年末投资400元,在第7年末投资600元,依此类推,最后一次投资发生在第15年末。年实际利率为5%,试计算这些投资在第20年末的终值。
在第15年末的投资金额应为200+200(15-5)=2200,这组投资在第20年末的终值为:
20. 一项连续支付的年金,第1年连续支付100元,第2年连续支付110元,第3年连续支付120元,依此类推,直到第10年连续支付190元。假设年实际利率为4%,试计算此年金在第10年的终值。
21. 有一项连续年金,第1年连续支付100元,此后每一年比前一年减少5元,直到最后一次支付65元,假设年实际利率为7%,试计算此项年金在第10年的终值。
在第8年的终值为:
=60×10.61485+5×51.51876=894.48478
在第10年的终值为:894.48478(1.07)
2=1024.10
22. 投资者现在25岁,他希望在他65~90岁之间每年领取养老金,第一次是在他65岁生日时领取15000元,之后领取的金额每年比前一年增加3%。假设年实际利率为5%,请计算投资者现在要投资多少钱才能满足他的养老金领取需求。
一共领取26次,现值为:295109
将其贴现到25岁生日时的现值为:1.05-39×295109=44015
23. 一项10年期连续年金,在时刻t的支付率为ρ
t=4t+3,假设利息力为δ
t=0.03+0.04t,试求此项年金在时刻0的现值。
24. 一个现金流从时刻5到时刻10连续付款,在时刻t的支付率为ρ
t=1.2t
2+2t,时刻0到时刻5的利息力为δ
t=0.004t+0.01,时刻5到时刻10的利息力为δ
t=0.0006t
2+0.001t,试计算此现金流在时刻0的现值。
在时刻5的现值为:
时刻零的现值为:
25. 投资者A从第1年到第7年每年末投资Z元,年实际利率为3%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为5%。在第7年末的终值为X元。投资者B从第1年到第14年每年末投资Z元,年实际利率为2%,然后又将每年末的利息进行再投资,再投资利率为3.5%。他在第14年末的终值为Y。试计算Y/X。
26. 一项期末付永续年金,前5年的付款均为20元,从第6年开始,付款每年比上一年增长k%。假设年实际利率为9%,此项永续年金的现值为335元,试计算k的值。
前5年的现值:
从第6年开始,以后各年付款的现值为:
总的现值为335,故有k=3.76%
27. 一项连续年金,其在时刻t的支付率为9k+tk,其中0≤t≤10,利息力为
,在10年后,此项年金的价值25000元,试计算k的值。
28. 一项15年期的年金,在第1年末给付300元,第2年末给付280元,第3年末给付260元,直到给付金额减少到160元,然后每年的给付金额保持160元不变,直到第15年末,假设年实际利率为5%,试计算此项年金在时刻0的现值。
29. 某项目的初始投资为50000元,并将产生如下净现金流入:第1年末15000元,第2年末40000元,第3年末10000元。求该项目的收益率。
30. 投资者将10000元存入一家银行,期限为10年,年利率为5%。如果在五年半之内取款,银行将扣除取款额的6%作为罚金。投资者分别在第4,5,6,7年末取款k。10年末,这笔存款的余额为10000元。求k。
1000(1.05)
10-1.06k(1.05)
6-1.06k(1.05)
5-k(1.05)
4-k(1.05)
3=10000
k=1221.99
31. 一个投资账户的有关信息如下表所示。
账户信息
|
时间 | 2006年1月1日 | 2006年5月1日 | 2006年9月1日 | 2007年1月1日 |
余额(投入或支取之前) | 50000 | 75000 | 90000 | 67000 |
投入 | | 15000 | | |
支取 | | | 25000 | |
请计算该账户的币值加权收益率和时间加权收益率之差。
时间加权法:
币值加权法:利息I=67000-50000-15000+25000=27000,故
两种方法计算的收益率之差为0.5462-0.5226=0.0236
32. 两项基金的有关信息如表1和表2所示。
表1 基金X
|
日期 | 投入 | 支取 | 投入/支取之前的基金余额 |
2003年1月1日 | | | 50000 |
2003年3月1日 | | | 55000 |
2003年5月1日 | 24000 | | 50000 |
2003年11月1日 | | 36000 | 77310 |
2003年12月31日 | | | 43100 |
表2 基金Y
|
日期 | 投入 | 支取 | 投入/支取之前的基金余额 |
2003年1月1日 | | | 100000 |
2003年7月1日 | | 15000 | 105000 |
2003年12月31日 | | | F |
基金Y在2003年的时间加权收益率等于基金X在2003年的币值加权收益率。求F。
基金X的利息I=43100-50000-24000+36000=5100
故其币值加权收益率为
基金Y时间加权收益率满足:
33. 某人2006年1月1日在一个账户投资了100元。该年的其他投资信息如下表所示。
账户信息
|
| 2006年4月19日 | 2006年10月30日 |
投入之前的余额 | 90 | 110 |
投入金额 | X | X |
假设该账户在2007年1月1日的余额为120元。该账户在2006年的币值加权收益率是0%,时间加权收益率是y。计算y。
币值加权收益率为0%,说明I=0,故120-(100+2X)=0
X=10
时间加权收益率为
34. 1月1日,一个投资账户的余额为100元。4月1日,余额上升为120元,又存入D。10月1日,余额为100,又取出50元。第2年的1月1日,账户余额为65元。假设该账户的时间加权收益率为0%,请计算币值加权收益率。
时间加权收益率
故币值加权收益率为
35. 2008年1月1日,某投资者向基金投入1000元,第二笔投资发生在2008年7月1日,直至2009年1月1日,基金的账面余额为2000元。已知该基金在过去一年的时间加权收益率为10%,币值加权收益率为9%。求投资者在2009年前六个月获得的年实际收益率。
由时间加权收益率有
由币值加权收益率有
故B
1/2=1064.32,D
1/2=870.81,
36. 某账户在1月1日的账面余额为75元,12月31日的账面余额为130元。每月末存入该账户的资金为10元,并分别在2月28日、6月30日、10月15日和10月31日从账户中取走了5元、25元、8元和35元。求该账户在这一年中的币值加权收益率。
37. 某投资者于1月1日在一个账户中投资50元,下表为该投资账户一年中的余额变化:
日期 | 投资前余额 | 新增投资额 |
3月15日 | 40 | 20 |
6月1日 | 80 | 80 |
10月1日 | 175 | 75 |
6月30日,账面余额为157.50元,12月31日,账面余额为X。如果把前六个月的时间加权收益率用年实际收益率表示,则其等于全年的时间加权收益率。求X。
以时间加权法计算前6个月的实际收益率为:
与其等价的年实际收益率为i=(1.05)
2-1=0.1025
全年的时间加权收益率为:
38. 某投资基金在年初的余额为20000元。在每季度末,收到一笔新增投资1000元。在这些现金流发生之后的基金价值为23000,24800,25000及25100元。请计算该基金的时间加权收益率。
基金在现金流发生前的价值如下表所示:
时间 |
现金流发生前 的基金价值 |
现金流 |
现金流发生后 的基金价值 |
1月1日 |
20000 |
|
|
3月31日 |
22000 |
1000 |
23000 |
6月30日 |
23800 |
1000 |
24800 |
9月30日 |
24000 |
1000 |
25000 |
12月31日 |
24100 |
1000 |
25100 |
故
39. 一个投资者购买了一项5年期的金融产品,该产品满足下述条件:(1)该投资者在5年内的每年初可以获得1000元;(2)这些款项将按年利率4%计息,并在每年末,所获利息又以3%的年利率进行再投资。如果该投资者需要获得4%的年收益率,请计算该投资者应该支付的购买价格。
在第1年末,投资者得到利息40,第2年末得到利息为2×40,……,第5年末得到5×40。投资者将这些利息以年利率3%再投资,则到第5年末,这些利息的积累值为
故5年末投资者共得到5624.55元。设购买价格为P,要得到4%的收益率,有P(1.04)
5=5624.55
P=4622.97
40. 某投资者在20年内每年初向银行存入500元,银行以i%的年利率在每年末支付利息。这些利息以(i/2)%的年利率进行再投资。整个投资在20年中的年实际收益率为8%。请计算i。
投资者在第1年末的利息为500i,第2年末的利息为2(500i),……,第20年末的利息为20(500i)。这些利息在20年末的积累值为(500i)
,本金共20(500)=10000元,已知年实际收益率为8%,故
41. 投资者A以年利率10%投资1000元,期限为10年。每年末支付利息,利息以年利率i进行再投资。第10年末,利息的积累值为1500元。投资者B在20年的每年末投资150元,年利率为12%。每年末支付利息,利息以年利率i进行再投资。求20年后B的利息累积值。
投资者A每年获得利息为100元,10年末积累值为1500,则
投资者B第2年末获得利息150(0.12),第3年末获得利息2(150)(0.12),……,第20年末获得利息19(150)(0.12),利息再投资后的积累值为:
42. 某投资者的初始投资为12,第10年末又投资12,这些投资以年实际利率计息。利息按年度支付,并以0.75i的年实际利率进行再投资。在第20年末,再投资利息的积累值为64元,求i。
43. 某投资人分别在1999年、2000年和2001年的年初投资了1000元。请根据下表中的数据计算该投资者在2001日历年度所获得的利息。
投资相关数据
|
原始投资的 日历年度y | 投资年度利率 | 投资组合利率 iy-2 | 投资组合利率的 日历年度y+2 |
| |
1999 | 9.00% | 10.00% | 11.00% | 2001 |
2000 | 7.00% | 8.00% | | |
2001 | 5.00% | | | |
3项投资在2001年初的余额为:1000(1.09)(1.10)+1000(1.07)+1000=3269
在2001年末的余额为:1000(1.09)(1.10)(1.11)+1000(1.07)(1.08)+1000(1.05)=3536.49
故2001年中所获利息为:3536.49-3269=267.49
44. 假设市场的无风险利率为5%,债券A的面值为1000元,期限为一年,违约概率为1%,如果发行人希望按面值发售债券,试计算该债券的息票率至少应为多少。如果投资者要求购买该债券的期望收益等于8%的无风险利率所产生的收益,试计算息票率应为多少。