计算题1. 某15年期的零息债券到期支付1000,该债券每月复利一次的年名义收益率为12%。试计算该债券的修正久期。
MacD=15,D=15/(1+1%)=14.85
2. 假设年实际收益率为10%,试计算5年期零息债券的修正久期。
3. 已知年息票率为5%的10年期债券的年实际收益率为6%,试计算该债券的修正久期。
假设债券的面值为100,则债券的价格为92.64,马考勒久期为8.0226,修正久期为7.5685
4. 已知年息票率为6%的4年期债券的实际收益率为3%,试计算该债券的修正久期。
假设债券的面值为100,则其价格为111.1513
5. 某20年期的零息债券到期支付1000,该债券的年名义收益率为12%,每年复利2次。试计算该债券的修正久期。
P=1000v
20=97.22
6. 某2年期债券年息票率为10%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为12%,每年复利2次。试计算该债券的修正久期。
7. 某30年期债券年息票率为8%,每半年付息一次,债券到期后按面值偿还。该债券的年名义收益率为8%,每年复利2次。试计算该债券的修正久期。
8. 已知当收益率为8%时,某20年期债券的价格为125.31。当收益率下降为7.75%时,该债券的价格将上升至127.64。当收益率上升至8.25%时,该债券的价格将降为122.95。试计算该债券的有效久期。
9. 已知某10年期债券的价格为75.98,年息票率为6%,收益率为8%,马考勒久期为8.517。试计算当收益率下降为7.85%时该债券的价格。
%ΔP=-(Δi)·D=1.18%
新的债券价格近似为:75.98×1.018=76.88
10. 某5年期债券年息票率为8.0%,每半年付息一次。已知现在的收益率为7.0%时,债券的价格为104.876。当收益率上升50个基点时,该债券的价格将下降为100.214。当收益率下降50个基点时,该债券的价格将上升为109.573。试计算该债券的有效久期和有效凸度。
11. 一项永续年金在每年年末支付1,年实际收益率为6%,试计算该永续年金的价格、修正久期和凸度。
12. 某10年期债券的修正久期为8.67,凸度为43.51。试估计当债券价格上升50个基点时,债券价格变化的百分比。
%ΔP=-(Δi)·D+0.5·(Δi)2·C=-4.28%
13. 某保险公司已确认在10年末将有一笔15000元的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司计划将3473.95元投资于5年期的零息债券,将3473.95元投资于15年期的零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为8%。请问该公司的投资策略是否能达到免疫的目的。
负债的现值为PVL=6947.90
债券的现值为PVA=6947.90
负债的马考勒久期为10,债券的马考勒久期为10,满足完全免疫的三个条件。
14. 某保险公司已确认在5年末将有一笔20000的债务支出,为了偿还这笔负债,该公司可供选择的投资方案只有购买4年期零息债券和10年期零息债券。所有债券和负债的年实际收益率均为10%。为了达到免疫的目的,该公司应如何分配在这两种债券上的投资?
负债的现值为PV
L=12418.43
负债的马考勒久期为MacD
L=5
负债的马考勒凸度为MacC
L=25
不妨假设两种零息债券的面值均为1000,则
4年期零息债券的价格为
4年期零息债券的马考勒久期为MacD
4=4
10年期零息债券的价格为
10年期零息债券的马考勒久期为MacD
10=10
假设有x%的债券投资4年期的零息债券,(1-x%)的债券投资10年期的零息债券,由MacD
A=MacC
L,有
(x%)(4)+(1-x%)(10)=5
x%=83.33%
投资4年期零息债券的金额:12418.43×83.33%=10348.28
投资10年期零息债券的金额:12418.43×16.67%=2070.15
15. 公司未来负债的现金流如下表所示:
负债的现金流
|
年度 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
负债的现金流 | 1794 | 6744 | 144 | 3144 | 824 |
可供该公司投资的资产如下:
(1)年息票率为5%的1年期债券;
(2)年息票率为10%的2年期债券;
(3)年息票率为4%的4年期债券;
(4)年息票率为3%的5年期债券。
每种债券的面值均为100元,年实际收益率为5%。
如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险,请计算应该如何购买这四种债券。
各种债券的购买数量分别如下:
购买5年期债券的数量 |
8 |
购买4年期债券的数量 |
30 |
购买2年期债券的数量 |
60 |
购买1年期零息债券 |
10 |
购买各种债券以后净负债的现金流如下:
年度 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
负债的现金流 |
1794 |
6744 |
144 |
3144 |
824 |
5年期债券的现金流 |
24 |
24 |
24 |
24 |
824 |
净负债的现金流 |
1770 |
6720 |
120 |
3120 |
0 |
4年期债券的现金流 |
120 |
120 |
120 |
3120 |
0 |
净负债的现金流 |
1650 |
6600 |
0 |
0 |
0 |
2年期债券的现金流 |
600 |
6600 |
0 |
0 |
0 |
净负债的现金流 |
1050 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1年期债券的现金流 |
1050 |
0 |
0 |
0 |
0 |
净负债的现金流 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
16. 假设各债券的面值均为100元,收益率与息票率如下表所示,请计算各债券的价格。
到期日 | 年息票率 | 实际年收益率 |
1 | 11% | 8% |
2 | 5% | 9% |
3 | 15% | 10% |
1年期债券的现金流以8%的收益率贴现:
P=102.7778
2年期债券的现金流以9%的收益率贴现:
P=92.9636
3年期债券的现金流以15%的收益率贴现:
P=112.4343
17. 给定以下各年的即期利率(见下表)。请计算年息票率为10%,面值为100元的3年期债券的价格。
时间 | 实际年即期利率 |
1 | 5% |
2 | 6% |
3 | 8% |
现金流分别按对应的即期利率折现:
18. 根据下表的收益率曲线,计算1年期、2年期和3年期的年即期利率。
到期日 | 年息票率 | 实际年收益率 |
1 | 11% | 8% |
2 | 5% | 9% |
3 | 15% | 10% |
19. 假设5年期的即期利率为r
5=8%,请根据下表的收益率曲线,计算每年支付40元的5年期期初付年金的现值。
到期日 | 年票息率 | 年实际收益率 |
1 | 5% | 4% |
2 | 7% | 5% |
3 | 8% | 5.5% |
4 | 6% | 6% |
5 | 10% | 7% |
不妨假设各债券的面值均为100元,计算5年期债券的价格:
每年支付40元的5年期期初付年金按对应的即期利率折现:
20. 给定以下远期利率表(见下表)。求年息票率为10%,面值为100元的3年期债券的价格。
由远期利率计算的债券的现值为:
21. 由下表所示的平价收益率曲线,计算可应用于第1,2,3年的远期利率f
0,f
1,f
2。
到期日 | 年息票率 | 实际的年收益率 |
1 | 4% | 5% |
2 | 6% | 7% |
3 | 8% | 9% |
不妨假设债券的面值均为1000元:
22. 根据下表给定的远期利率,请计算1年期、2年期和3年期的即期利率。
1+r
1=1+f
0r
1=f
0=6.000%
(1+r
2)
2=(1+f
0)(1+f
1)
r
2=5.4988%
(1+r3)
3=(1+f
0)(1+f
1)(1+f
2)
r
3=6.9784%
23. 下表是3个支付年息票债券的收益率,年息票率未知。请计算1年期、2年期和3年期的即期利率。
到期日 | 年息票率 | 实际年收益率 |
1 | x | 20% |
2 | y | 20% |
3 | z | 20% |
24. 下表是3个支付年息票债券的收益率,年息票率未知。计算可应用于第1,2,3年的远期利率f
0,f
1,f
2。
到期日 | 年息票率 | 实际年收益率 |
1 | x | 20% |
2 | y | 20% |
3 | z | 20% |
1+r
1=1+f
0f
0=20%
1.2
2=(1.2)(1+f
1)
f
1=20%
25. 支付年息票债券的价格如下表所示,请计算年息票率为15%,面值为100元的3年期债券的价格。
到期日 | 年息票率 | 100元面值债券的价格 |
1 | 10% | 106 |
2 | 5% | 95 |
3 | 9% | 102 |
26. 假设5个零息票债券的价格如下表所示,请确定适用于3~4年的实际年远期利率f
3的值。
到期日 | 每100元面值债券的价格 |
1 | 96 |
2 | 91 |
3 | 82 |
4 | 75 |
5 | 65 |
27. 假设1年期的即期利率为5%。适用于1~2年的远期利率f
1为7%。支付年息票的3年期的平价债券的实际年收益率为8%。求3年期的即期利率。
1+r
1=1+f
0r
1=f0=5%
(1+r
2)
2=(1+f
0)(1+f
1)
r
2=5.9953%
假设其票面价值为100元,有
28. 年息票率为6%的2年期债券的实际年收益率为10%,其面值为100元。1年期的即期利率为7.0%,2年期的即期利率为9.0%。请确定一个投资策略,使得通过买入或卖出一个该2年期债券获得无风险的套利收益。
通过收益率计算的债券价格为:
通过即期利率计算的债券价格为:
债券价格被低估了94.8256-93.0579=1.7677元。故可以按94.8256元的价格购买一个2年期债券,同时按即期利率发放一个1年期的面值为6元的零息票债券和一个2年期的面值为106元的零息票债券
年息票率为12%的1年期债券的实际年收益率为12%。年息票率为10%的2年期债券的实际年收益率为15%。各债券的面值均为100元。29. 请计算2年期的即期利率r
2。
由已知1年期债券有r
1=y=12%,故
30. 某投资者希望按上小题中计算的即期利率r
2投资1000元,投资期限为2年。假设投资者无法找到愿意接受该笔投资的机构,请问如何通过买入或卖出上述1年期和2年期的债券实现投资者的目标收益。
投资者按即期利率r
2=15.1614%投资1000元在2年末得到
1000×(1+r
2)
2=1326.214
2年期债券的收益率大于1年期债券,故考虑买入2年期债券,卖出1年期债券获利。
1年期债券的价格为
2年期债券的价格为
假设可买入x个2年期债券,卖出y个1年期债券,则由总投资金额1000元,有
1000=91.8715x-100y
由2年末期望收益322.5元,有
1326.214=(10+110)x-112y
x=12.0565,y=1.0762
31. 假设第一年的年实际利率为5%,第二年的年实际利率服从如下
假设第2年的利率一旦确定以后,今后各年将不再发生变化。请计算现在投资的1000元在10年末的期望累积值和累积值的标准差。
AV
10的完整分布如下:
i1,(i2,i3,…,i10) |
概率 |
AV10 |
(AV10)2 |
0.05,(0.05) |
0.20 |
(1.05)(1.05)9=1.6289 |
(1.62892)2=2.653298 |
0.05,(0.08) |
0.40 |
(1.05)(1.08)9=2.0990 |
(2.09902)2=4.405611 |
0.05,(0.12) |
0.40 |
(1.05)(1.12)9=2.9117 |
(2.91172)2=8.478187 |
(1)10年末累积价值的期望为:
1000×E(AV
10)=2330.05
(2)10年末累积价值的二阶矩为:
1000
2×E[(AV
10)
2]=5684179.06
累积价值的方差为:
var(AV
10)=5684179.06-2330.05
2=255027.66
所以累积价值的标准差为:505
32. 投资者每年的收益率可能为5%,10%或15%。每一年的收益率相互
试计算初始投资的1000元在10年末的累积值的期望和标准差。
(1)未来的诸利率之间是独立同分布的,其期望值为:
10时刻的期望累积价值为:1000×E(AV
10)=
(2)诸i
t的方差为s
2,有s
2=
10时刻累积价值的方差为:
1000
2×var(AV
10)=83865.54
所以10时刻累积价值的标准差为:289.60
33. 假设(1+i
t)服从参数为μ=0.06和σ
2=0.01的对数正态分布,请计算现在存入的10000元在8年后的期望累积值。
未来的诸利率之间是独立同分布的,其期望值为:
=E(i
t)=μ=0.16
时刻3的期望累积价值为:
1000×E(AV
3)=
=1000×(1.16)
3=1560.90
34. 假设利率在各年独立同分布,且用随机变量i表示。如果要计算现在投资的单位1在时刻n的累积值,下列哪些公式是正确的:
(1)E(AV
n)=E(1+i
n)
(2)E(AV
n)=Er(1+i)
n]
(3)E(AV
n)=[E(1+i)]
n (4)E(AV
n)=[1+E(i)]
n
35. 一个投资者计划在今后三年的每年初向一个投资账户存入一笔资金。投资的数量如下表所示。假定投资回报率服从变动利率模型,每一年回报率的期望和标准差亦如表所示。请计算3年末该账户的期望累积值。
年份 | 存款 | 回报率的期望 | 回报率的标准差 |
1 | 5000 | 8% | 3% |
2 | 3000 | 5% | 2% |
3 | 2000 | 12% | 1% |
时刻1的存款的累积价值的期望为:
5000×E(AV3)=6350.4
时刻2的存款的累积价值的期望为:
3000×E(AV2)=3528
时刻3的存款的累积价值的期望为:2000×E(AV1)=2000×E[(1+i3)]=2240
所以3年末该账户累积价值的期望为:6350.4+3528+2240=12118.4
假设对时刻1和2有E(it)=0.07,var(it)=0.0004,且各年的利率独立同分布。36. 请计算现在投资单位1在2年末的期望累积值。
未来的诸利率之间是独立同分布的,其期望值为:
2时刻的期望累积价值为:
37. 请计算现在投资单位1在2年末的累积值的方差。
it的方差为s2=0.0004
时刻2累积价值的方差为:var(AV2)=0.000916
未来50年的年实际利率独立同分布,且服从如下分布:
38. 请计算ln(1+i
t)的均值和方差。
下表提供了ln(1+i
t)和[ln(1+i
t)]
2的期望:
概率 |
(1+it) |
ln(1+it) |
[ln(1+it)]2 |
0.8 |
1.07 |
0.067659 |
0.004578 |
0.2 |
1.10 |
0.095310 |
0.009084 |
期望 |
10.76 |
0.073189 |
0.005479 |
ln(1+i
t)的期望为:μ=0.073189
ln(1+i
t)的方差为:σ
2=0.000122
39. 现在投资1000,请计算50年末的期望累积值超过40000的概率。
E[ln(AV
50)]=50μ,var[ln(AV
50)]=50σ
2 Pr(1000AV
50>40000)=Pr[ln(AV
50)>ln(40)]
=Pr[Z>0.376]=1-Pr[Z<0.376]
Pr[Z<0.376]=0.65,Pr(1000AV
50>40000)=0.35
则现投资的单位1在5年末的累积价值95%置信区间为:
40. 假设各年的利率相互独立,(1+i
t)服从参数为μ=0.05,σ
2=0.0001的对数正态分布。如果现在投资单位1,请计算在5年末的累积值的95%置信区间。
(1+i
t)是具有参数μ和σ
2的对数正态分布随机变量,则(1+i
t)的期望和方差为:
假设年有效回报率的中位数为k,则有
Pr(i
t<k)=0.5
Pr(1+i
t<1+k)=0.5
41. 假设各年的利率相互独立,年累积因子服从参数为μ=0.08,σ
2=0.002的对数正态分布。请计算年有效回报率的期望、标准差和中位数。
因为(1+it)服从参数为μ和σ2的对数正态分布,且相互独立,则ln(AV10)是具有均值10μ、方差10σ2的正态随机变量。有
Pr(6000AV10>15000)=Pr[ln(AV10)>ln(2.5)]
=1-Pr[Z<0.822]
Pr[Z<0.822]=0.794,Pr(6000AV10>15000)=20.6%
42. 在第10年末必须支付15000,假设各年的利率相互独立,年累积因子服从参数为μ=0.08,σ
2=0.002的对数正态分布。计算现在投资6000就能满足5年后支付需求的概率。
在固定利率模型下,现在投资单位1,经过n年其累积价值为AV
n,有
AV
n=(1+i
1)
n 因为(1+i
1)服从参数为μ和σ
2的对数正态分布,
服从均值为μ,方差为σ
2的正态分布。有
Pr(6000AV
n>15000)=Pr[ln(AV
n)>ln(2.5)]
Pr(6000A
V10>15000)=1-Pr[Z<0.260]
Pr[Z<0.260]=0.603,故Pr(6000AV
10>15000)=39.7%
43. 请利用下述信息构建利率树:γ=0.5,p=0.7,i
1=8.0%。利用上述二叉树模型,请计算面值为100,年息票率为9%的2年期可赎回债券的价值。赎回时点可以是一年以后的任意时点,赎回价格为100。
由题意:γ=0.3,p=0.75,i
1=5.000%
时刻1的即期利率由时刻0的即期利率发展而来,在时刻0利率水平的基础上上调30%的可能为0.75;在时刻0利率水平的基础上下降30%的概率为0.25。时刻2的即期利率由时刻1的即期利率发展而来,在时刻1利率水平的基础上上调30%的可能为0.75;在时刻1利率水平的基础上下降30%的概率为0.25。有利率树:
E(i
2)=(0.75)(0.75)(0.0845)+(0.75)(0.25)(0.05)+(0.25)(0.75)(0.05)+(0.25)(0.25)(0.02959)=6.813%