单项选择题(每题的备选项中,只有一个最符合题意)1. H
2S饱和溶液浓度为0.1mol/L,已知K
a1=1.32×10
-7,K
a2=7.1×10
-15,该溶液的C
H+、C
HS-、C
s2-和pH值分别为______。
- A.1.15×10-4、1.15×10-4、7.1×10-15、3.94
- B.1.15×10-4、7.1×10-15、2.3×10-4、3.94
- C.3.6×10-15、0、7.1×10-15、14.4
- D.2.3×10-4、1.15×10-4、1.15×10-4、3.64
A B C D
A
[解析] 解:因为H
2S的
计算C
H+时,按一元弱酸处理,
2. 已知三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,则矩阵B=(A
*)
-1(其中A
*为A的伴随矩阵)的特征值为______。
A.1,-1,-2
B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 解:利用相关知识可知
(因为A
-1=
A
*,A
*=|A|A
-1,(A
*)
-1=(|A|A
-1)
-1,(A
*)
-1=
(A
-1)
-1(利用数乘矩阵的逆的性质),(A
*)
-1=
),又因方阵的行列式与方阵的特征值有如下关系:设A=(a
ij)
n×n的n个特征值为λ
1,λ
2,…,λ
n,则:①λ
1+λ
2+…+λ
n=a
11+a
22+…a
nn;②λ
1·λ
2…λ
n=|A|。得到|A|=λ
1λ
2λ
3=(-1)×1×2=-2,所以
若λ是A的特征值,kA的特征值为kλ,且特征向量相同。所以
的特征值为
3.
直线绕y轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为______
- A.2x2+z2=(y+2)2
- B.x2+22=(y+2)2
- C.2x2+2z2=(y+2)2
- D.x2+2z2=(y+2)2
A B C D
C
[解析] L的参数方程为
在旋转曲面上任取一点P(x,y,z),过P作平面垂直y轴,则交L于点P
1(x
1,y
1,
1z1),即点P
1是由点P绕y轴旋转而得,故P与P
1到y轴的距离相等,即有:
;而P
1在x上,x
1=t+1,y=2t,z
1=t+1,消去t,得
,于是有
。则所求的旋转曲面方程为:2x
2+2z
2=(y+2)
2。
4. 将0.2mol/L的醋酸与0.2mol/L醋酸钠溶液混合,为使溶液pH维持在4.05,则酸和盐的比例(Ka=1.76×10
-5)应为______。
A B C D
C
[解析] 根据弱酸和共轭碱组成的缓冲溶液H
+浓度计算公式,得c(H
+)=K
a·c
酸/c
盐,则
。
7. 设函数
其中g(x)在x=0处可导,且g(0)=0,g'(0)=2。若函数f(x)在x=0处可导,则a的值为______
A.
B.0
C.1
D.2
A B C D
D
[考点] 考查函数导数的基本定义以及函数连续和可导的关系.
[解析] 若函数f(x)在x=0处可导,则函数f(x)在x=0处必定连续,因此,
10. 设A,B为三阶方阵,且行列式
|B|=2,A
*是A的伴随矩阵,则行列式|2A
*B
-1|等于:______
A B C D
A
[考点] 线性代数
[解析] |2A
*B
-1|=2
3|A
*B
-1|=2
3|A
*|·|B
-1|
A
*=|A|·A
-1 A·A
-1=E,|A|·|A
-1|=1,
B·B
-1=E,|B|·|B
-1|=1,
因此,
注:本题中利用的基本计算公式较多,如行列式、伴随矩阵、逆矩阵的一些性质和计算公式,应在计算前将相关的公式复习一下,并运用到计算中。
15. 级数
收敛的充要条件是:______
A.
B.
C.
D.
存在,其中S
n=u
1+…+u
n A B C D
D
[考点] 级数
[解析] 选项A错误:
仅是级数收敛的必要条件,而非充分条件。例如调和级数
但级数发散。
选项B错误:
为正项级数收敛的充分条件,但所给级数并未说明是什么类型的级数。
选项C错误:此条件仅对正项级数收敛适用。
选项D正确:
存在是级数,
收敛的充分必要条件,这是判定级数敛散性的基本定理。
19. 图示结构横梁AB、BC均为刚性梁,1号杆和2号杆的截面直径分别为d
1=10mm,d
2=20mm,不计横梁AB、BC的重量,则两杆截面上的应力分别为______
- A.σ1=127.3MPa(拉应力);σ2=63.7MPa(拉应力)
- B.σ1=146.8MPa(拉应力);σ2=45.8MPa(拉应力)
- C.σ1=112.4MPa(拉应力);σ2=63.8MPa(拉应力)
- D.σ1=127.3MPa(拉应力);σ2=127.3MPa(拉应力)
A B C D
A
[考点] 考查横截面上应力的计算.
[解析] 将结构从中间铰处拆开,由右边梁的平衡有:R=0,F
N1=F,F
N2=2F;
;
21. 如图所示一等边三角形板,边长为a,沿三边分别作用有力F
1、F
2和F
3,且F
1=F
2=F
3,则此三角形板处于______状态。
A B C D
C
[解析] 解:将各力向F1力作用点平移进行简化,简化后的主矢为零(各力首尾相连),F2平移后将附加一力偶(F1不动F3沿作用线移动),使三角形板转动。
22. 在体积为V容器中有氮气的质量为M,容器内压强为p,此时气体的最概然速率为v
1;若在相同体积的另一容器中有氢气质量为
,容器内压强为5p,此时气体的最概然速率为v
2,则______
A.v
1=v
2 B.
C.
D.
A B C D
B
[解析] 把气体看作理想气体,则其分子的最概然速率
;已知理想气体的状态方程
;因此,
24. 设A为n阶方阵,则以下结论正确的是______。
A.若A可逆,则A的对应于λ的特征向量也是A
-1对应于特征值
的特征向量
B.A的特征向量的任一线性组合仍是A的特征向量
C.若λ是方阵A对应特征向量x的特征值,那么A
*对应于特征向量x的特征值为λ|A|
D.A的特征向量为方程组(A-λE)x=0的全部解向量
A B C D
A
[解析] 解:选项A,设可逆阵A的特征值λ对应的特征向量为α,则Aα=λα,λ≠0,所以
所以
是A
-1对应特征向量α的特征值。
选项B,设λ
1,λ
2为n阶方阵A的两个不相等特征值λ≠0,x
1,x
2分别为λ
1,λ
2对应的特征向量,则线性组合x
1+x
2不是A的特征向量,选项B不成立。
选项C,由方阵的特征值和特征向量的性质可知,若λ为方阵A对应特征向量x的特征值λ≠0,那么A
*对应于方阵A特征向量x的特征值为
选项C不成立。
选项D,由于A的特征向量为非零向量,故方程组(λE-A)x=0的零向量不是A的特征向量,选项D不成立。
25. 如图所示圆环以角速度叫绕铅直轴AC自由转动,圆环的半径为R,对转轴z的转动惯量为I。在圆环中的A点放一质量为m的小球,设由于微小的干扰,小球离开A点。忽略一切摩擦,则当小球达到B点时,圆环的角速度为:______
A.
B.
C.ω
D.
A B C D
B
[考点] 动力学
[解析] 系统在转动中对转动轴z的动量矩守恒,即:Iω=(I+mR
2)ω
t(设ω
t为小球达到B点时圆环的角速度),则
27. 重为G的物体放在倾角为α的斜面上,摩擦系数为f,则要拉动物体所需拉力T的最小值为______
A.T
min=sin(α-φ
m)G
B.T
min=sin(α+φ
m)G
C.
D.
A B C D
B
[考点] 考查具有摩擦力的平衡问题.
[解析] 研究重物,受力分析(支承面约束用全反力R表示),则受力图如下:
由力三角形得:
,因此得:
,当T与R垂直时,T取得最小值,此时有:α+φ
m=θ+α,此时,T
min=sin(α+φ
m)G.
33. 一束光通过两个偏振化方向平行的偏振片,透过光的强度为I
1,当一个偏振片慢慢转过θ角时,透过光的强度为3I
1/4,则角θ为______
A B C D
D
[考点] 考查马吕斯定律.
[解析] 当两个偏振化方向平行时,最后透过光的强度为I
1,即为透过第一个偏振片的强度,当两个偏振化方向有夹角时,根据马吕斯公式有:
;因此θ=30°.
34. 一平面简谐波的波动方程为y=2×10
-2cos2π(10t-
)(SI),对x=2.5m处的质元,在t=0.25s时,它的:______
- A.动能最大,势能最大
- B.动能最大,势能最小
- C.动能最小,势能最大
- D.动能最小,势能最小
A B C D
D
[考点] 波动学
[解析] 简谐波在弹性媒质中传播时媒质质元的能量不守恒,任一质元W
p=W
k,平衡位置时动能及势能均为最大,最大位移处动能及势能均为零。
将x=2.5m,t=0.25s代入波动方程y=2×10
-2cos2π(10×0.25-
)=0.02m,为波峰位置,动能及势能均为零。
35. 已知两直线l
1:
和l
2:
,则它们的关系是______。
A B C D
B
[解析] s
1,s
2坐标不呈比例,所以选项C、选项D不成立;再利用混合积不等于0,判定为两条直线异面,解法如下:s
1=(2,3,5),s
2=(-3,2,4),分别在直线l
1、l
2上取点M(4,-1,-2),N(-1,1,3),
,计算
。
37. 微分方程
的通解是______。
A.
B.
C.
D.
A B C D
A
[解析] 解:直接看出
是线性非齐次方程的一个特解。求齐次方程通解,r2+2=0,
对应齐次方程的通解
则方程的通解